Inverta a ordem de integraçäo.
.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede para inverter a ordem de integração. Informações relevantes fornecidas:
- A variável externa é
com . - Para cada
fixo, a variável interna varia de até . - A função integranda é
(não precisamos da forma explícita para inverter a ordem).
A tarefa: reescrever a mesma integral trocando a ordem, ou seja, como uma integral emexterna e em interna.
Passo 2
Interpretar geometricamente a região de integração no plano
. A região
é dada por
Explicando: para cada
entre
e
,
vai da curva
até a reta
. As fronteiras importantes são:
- a curva
(parábola que passa por e ); - a reta
; - as retas verticais
e (pelo domínio de ).
Passo 3
Desenho mental e consequêcias para os intervalos: a região é a porção entre a parábola e a reta
para
. Visualizando, a menor ordenada
na região ocorre em
, então
varia de
até
. Logo o intervalo para
quando trocamos a ordem será
.
Passo 4
Para um
fixo com
, determinar os valores possíveis de
. A condição da região é
e
. Resolver
dá
Como a região original exige
, intersectando com essa desigualdade obtemos
Observação: para
tem sentido
, então esse intervalo está dentro de
.
Passo 5
Agora escrevemos a integral trocando a ordem: integrar primeiro em
de
a
e depois em
de
a
. Assim a integral equivalente é
Passo 6
Verificação rápida com um exemplo simples para internalizar o procedimento: se
a integral original mede a área da região
. Calculando cada ordem:
- Ordem original:
- Ordem trocada:
Os dois resultados coincidem, confirmando que a troca foi feita corretamente (sempre que
for integrável apropriada, a troca é válida pelas propriedades de Fubini/Tonelli).