Inverta a ordem de integraçäo.
\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{1} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{1} f(x,y)\,dy\right]dx
e pede para inverter a ordem de integração. Informações relevantes fornecidas:
  • A variável externa é x com 0\le x\le1.
  • Para cada x fixo, a variável interna y varia de y=x^{2} até y=1.
  • A função integranda é f(x,y) (não precisamos da forma explícita para inverter a ordem).
    A tarefa: reescrever a mesma integral trocando a ordem, ou seja, como uma integral em y externa e em x interna.

Passo 2

Interpretar geometricamente a região de integração no plano (x,y). A região R é dada por
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\; x^{2}\le y\le1\}.
Explicando: para cada x entre 0 e 1, y vai da curva y=x^{2} até a reta y=1. As fronteiras importantes são:
  • a curva \;y=x^{2}\; (parábola que passa por (0,0) e (1,1));
  • a reta \;y=1\;;
  • as retas verticais \;x=0 e \;x=1 (pelo domínio de x).

Passo 3

Desenho mental e consequêcias para os intervalos: a região é a porção entre a parábola e a reta y=1 para 0\le x\le1. Visualizando, a menor ordenada y na região ocorre em (0,0), então y varia de 0 até 1. Logo o intervalo para y quando trocamos a ordem será [0,1].

Passo 4

Para um y fixo com 0\le y\le1, determinar os valores possíveis de x. A condição da região é x^{2}\le y e 0\le x\le1. Resolver x^{2}\le y
-\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}.
Como a região original exige x\ge0, intersectando com essa desigualdade obtemos
0\le x\le \sqrt{y}.
Observação: para y\in[0,1] tem sentido \sqrt{y}\in[0,1], então esse intervalo está dentro de [0,1].

Passo 5

Agora escrevemos a integral trocando a ordem: integrar primeiro em x de 0 a \sqrt{y} e depois em y de 0 a 1. Assim a integral equivalente é
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right]dy.

Passo 6

Verificação rápida com um exemplo simples para internalizar o procedimento: se f(x,y)=1 a integral original mede a área da região R. Calculando cada ordem:
  • Ordem original:
\int_{0}^{1}\bigl( \int_{x^{2}}^{1} 1\,dy\bigr)dx=\int_{0}^{1} (1-x^{2})\,dx=\Bigl[x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
  • Ordem trocada:
\int_{0}^{1}\bigl( \int_{0}^{\sqrt{y}} 1\,dx\bigr)dy=\int_{0}^{1} \sqrt{y}\,dy=\Bigl[\tfrac{2}{3}y^{3/2}\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac{2}{3}.
Os dois resultados coincidem, confirmando que a troca foi feita corretamente (sempre que f for integrável apropriada, a troca é válida pelas propriedades de Fubini/Tonelli).

Resposta

\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right]dy

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