Inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral
Vou listar claramente o que isso descreve (peguei estes limites do enunciado):
- A variável
varia em . - Para cada
fixo, varia de até .
O que o problema pede: inverter a ordem de integração, ou seja, escrever a mesma integral com primeiroe depois .
Passo 2
Descrever a região
no plano
dada pelos limites. A região é
Para inverter a ordem precisamos:
- identificar os valores possíveis de
(intervalo global de ); - para cada
fixo, encontrar o intervalo de tal que .
Passo 3
Determinar o intervalo global de
. Observando que para
temos
, logo
. O teto de
é o máximo de
em
. Calculo do máximo:
zerando obtemos
e
Portanto
varia entre
e
, isto é
.
Passo 4
Para um
fixo, as condições
são
Reescrevendo a segunda desigualdade como uma desigualdade quadrática em
:
Trata-se de uma parábola voltada para cima; o conjunto de
que satisfaz é o intervalo entre as raízes da equação
. Calculo das raízes usando o discriminante:
Como já sabemos
, temos
. As raízes são
Logo a condição
equivale a
Passo 5
Agora intersectar as duas condições em
: precisamos de
além de lembrarmos que originalmente
. Assim, para cada
válido, o intervalo em
é
coletando também a restrição
. Agora é preciso decidir quando
ou
.
Passo 6
Determinar para quais
vale
. Faço a análise com cuidado:
- Se
, então e , então é automaticamente verdadeira. - Se
, posso subtrair e, como ambos lados ficam não negativos, elevar ao quadrado sem mudar o sinal:
Desenvolvendo:
Isso dá
. Combinando os casos, concluímos que
e para
ocorre
.
Passo 7
Conseqüência prática:
- Para
temos . Logo, para esses ,
- Para
temos . Logo, para esses ,
Note que todos os intervalos em
acima ficam contidos em
, então a restrição
já está satisfeita.
Passo 8
Montando a integral invertida: como os intervalos em
mudam em
, é conveniente quebrar a integral em duas integrais em
.