Inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{3} \int_{x}^{4 x-x^{2}} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{0}^{3}\int_{x}^{4x-x^{2}} f(x,y)\,dy\,dx.
Vou listar claramente o que isso descreve (peguei estes limites do enunciado):
  • A variável x varia em [0,3].
  • Para cada x fixo, y varia de y=x até y=4x-x^{2}.
    O que o problema pede: inverter a ordem de integração, ou seja, escrever a mesma integral com primeiro dx e depois dy.

Passo 2

Descrever a região R no plano (x,y) dada pelos limites. A região é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\; x\le y\le 4x-x^{2}\}.
Para inverter a ordem precisamos:
  • identificar os valores possíveis de y (intervalo global de y);
  • para cada y fixo, encontrar o intervalo de x tal que (x,y)\in R.

Passo 3

Determinar o intervalo global de y. Observando que para x\in[0,3] temos y\ge x\ge 0, logo y\ge 0. O teto de y é o máximo de 4x-x^{2} em x\in[0,3]. Calculo do máximo:
g(x)=4x-x^{2},\qquad g'(x)=4-2x,
zerando obtemos x=2 e
g(2)=4\cdot 2-2^{2}=8-4=4.
Portanto y varia entre 0 e 4, isto é y\in[0,4].

Passo 4

Para um y fixo, as condições (x,y)\in R são
x\le y \qquad\text{e}\qquad y\le 4x-x^{2}.
Reescrevendo a segunda desigualdade como uma desigualdade quadrática em x:
x^{2}-4x+y\le 0.
Trata-se de uma parábola voltada para cima; o conjunto de x que satisfaz é o intervalo entre as raízes da equação x^{2}-4x+y=0. Calculo das raízes usando o discriminante:
\Delta=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot y=16-4y=4(4-y).
Como já sabemos y\le 4, temos \Delta\ge 0. As raízes são
x=\frac{4\pm\sqrt{16-4y}}{2}=2\pm\sqrt{4-y}.
Logo a condição y\le 4x-x^{2} equivale a
2-\sqrt{4-y}\le x\le 2+\sqrt{4-y}.

Passo 5

Agora intersectar as duas condições em x: precisamos de
2-\sqrt{4-y}\le x\le 2+\sqrt{4-y} \qquad\text{e}\qquad x\le y,
além de lembrarmos que originalmente x\in[0,3]. Assim, para cada y válido, o intervalo em x é
x\in\big[\,2-\sqrt{4-y}\,,\;\min\{\,y,\;2+\sqrt{4-y}\,\}\,\big],
coletando também a restrição x\in[0,3]. Agora é preciso decidir quando \min\{y,2+\sqrt{4-y}\}=y ou =2+\sqrt{4-y}.

Passo 6

Determinar para quais y vale y\le 2+\sqrt{4-y}. Faço a análise com cuidado:
  • Se y\le 2, então y-2\le 0 e \sqrt{4-y}\ge 0, então y\le 2+\sqrt{4-y} é automaticamente verdadeira.
  • Se y>2, posso subtrair 2 e, como ambos lados ficam não negativos, elevar ao quadrado sem mudar o sinal:
y-2\le \sqrt{4-y}\quad\Longleftrightarrow\quad (y-2)^{2}\le 4-y.
Desenvolvendo:
y^{2}-4y+4\le 4-y\quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}-3y\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad y( y-3)\le 0.
Isso dá y\in[0,3]. Combinando os casos, concluímos que
y\le 2+\sqrt{4-y}\quad\text{para}\quad y\in[0,3],
e para y\in(3,4] ocorre y>2+\sqrt{4-y}.

Passo 7

Conseqüência prática:
  • Para y\in[0,3] temos \min\{y,2+\sqrt{4-y}\}=y. Logo, para esses y,
x\in\big[\,2-\sqrt{4-y}\,,\;y\,\big].
  • Para y\in[3,4] temos \min\{y,2+\sqrt{4-y}\}=2+\sqrt{4-y}. Logo, para esses y,
x\in\big[\,2-\sqrt{4-y}\,,\;2+\sqrt{4-y}\,\big].
Note que todos os intervalos em x acima ficam contidos em [0,3], então a restrição x\in[0,3] já está satisfeita.

Passo 8

Montando a integral invertida: como os intervalos em x mudam em y=3, é conveniente quebrar a integral em duas integrais em y.

Resposta

\int_{0}^{3}\int_{\,2-\sqrt{4-y}\,}^{\,y\,} f(x,y)\,dx\,dy + \int_{3}^{4}\int_{\,2-\sqrt{4-y}\,}^{\,2+\sqrt{4-y}\,} f(x,y)\,dx\,dy

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