Usando somas de Riemann convenientes, calcule
, onde
. Verifique sua resposta usando o Teorema de Fubini.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
. São duas tarefas: (1) calcular usando somas de Riemann convenientes; (2) verificar o resultado aplicando o Teorema de Fubini. Dados relevantes:
- O domínio é o retângulo
. - A função a integrar é
.
Nada mais foi fornecido, então usarei uma partição retangular uniforme e amostras no ponto médio (soma de Riemann por pontos médios) como “somas convenientes”.
Passo 2
Definição e notação das somas de Riemann em retângulo.
- Particione o intervalo
em subintervalos iguais de largura . Como o comprimento de é , temos
- Particione o intervalo
em subintervalos iguais de largura . Como o comprimento de é , temos
- Tome pontos amostrais nos subretângulos. Uma escolha prática (e muito usada) é o ponto médio de cada subintervalo. Para
e defina os pontos médios
- A soma de Riemann por pontos médios é
A integral dupla
é o limite dessa soma quando
, se o limite existir.
Passo 3
Fatorando a soma (separabilidade da função).
Observe que é produto de uma função só de
e outra só de
. Assim dentro da soma podemos separar:
Observe que
Portanto a soma de Riemann fica
Isto é útil porque reduz a dupla soma ao produto de duas somas unidimensionais.
Passo 4
Escolha “conveniente” que zera imediatamente a soma em
.
Com os pontos médios uniformes escolhidos, os estão simetricamente distribuídos em torno de
: para cada
existe um
tal que
. Em particular,
Com os pontos médios uniformes escolhidos, os
para qualquer
(desde que a partição seja uniforme e os pontos sejam os pontos médios). Explicando de forma bem direta: podemos emparelhar
com
,
com
, etc.; cada par soma zero porque estão nas mesmas distâncias simétricas de
. Logo
Pelo produto em
isso implica
Como as somas de Riemann valem
já para qualquer malha uniforme por pontos médios, o limite quando
também é
. Portanto, pelo método das somas de Riemann convenientemente escolhidas,
Passo 5
Interpretação e alternativa via separabilidade geral (conectando com integrais unidimensionais).
Mais formalmente, como com
e
, e
é produto de intervalos, a soma de Riemann separou em produto de somas que aproximam
e
. Ou seja
Mais formalmente, como
Calculemos as integrais unidimensionais para ver por que isso dá zero:
Multiplicando:
. A vantagem desse argumento é que mostra a razão estrutural (produto de integrais) — mas a conclusão é a mesma: integral dupla
.
Passo 6
Verificação direta usando o Teorema de Fubini (integrais iteradas).
O Teorema de Fubini diz que se é contínua (ou integrável) em um retângulo, então a integral dupla pode ser calculada como integral iterada e a ordem de integração pode ser trocada. Aqui
é contínua em
, então
O Teorema de Fubini diz que se
Calcule a integral interna tratando
como constante:
Logo a integral externa é
Se trocarmos a ordem (primeiro em
), também dá zero:
Portanto a verificação pelo Teorema de Fubini confirma o resultado obtido pelas somas de Riemann.
Passo 7
Recapitulando de forma amigável: escolhemos somas de Riemann por pontos médios uniformes onde os pontos
são simétricos em torno de zero, o que faz a soma em
ser zero e, consequentemente, toda a soma dupla zerar já para qualquer malha. O Teorema de Fubini e a separabilidade
confirmam que a integral dupla é produto de
(que é zero) por
(que é
), resultando em zero. Força aí nos estudos — essa estrutura de produto e simetria é uma arma poderosa em provas!