Usando somas de Riemann convenientes, calcule \iint_{R} x y d A, onde R=[-1,1] \times[1,3]. Verifique sua resposta usando o Teorema de Fubini.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x y \, dA
onde R = [-1,1]\times[1,3]. São duas tarefas: (1) calcular usando somas de Riemann convenientes; (2) verificar o resultado aplicando o Teorema de Fubini. Dados relevantes:
  • O domínio é o retângulo \,[-1,1]\times[1,3].
  • A função a integrar é f(x,y)=x\,y.
    Nada mais foi fornecido, então usarei uma partição retangular uniforme e amostras no ponto médio (soma de Riemann por pontos médios) como “somas convenientes”.

Passo 2

Definição e notação das somas de Riemann em retângulo.
  • Particione o intervalo [-1,1] em n subintervalos iguais de largura \Delta x. Como o comprimento de [-1,1] é 2, temos
\Delta x=\frac{2}{n}.
  • Particione o intervalo [1,3] em m subintervalos iguais de largura \Delta y. Como o comprimento de [1,3] é 2, temos
\Delta y=\frac{2}{m}.
  • Tome pontos amostrais nos subretângulos. Uma escolha prática (e muito usada) é o ponto médio de cada subintervalo. Para i=1,\dots,n e j=1,\dots,m defina os pontos médios
x_i^* = -1 +\Big(i-\tfrac{1}{2}\Big)\Delta x,\qquad y_j^* = 1 +\Big(j-\tfrac{1}{2}\Big)\Delta y.
  • A soma de Riemann por pontos médios é
S_{n,m}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} f(x_i^*,y_j^*)\,\Delta x\,\Delta y = \Delta x\,\Delta y \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} x_i^* y_j^*.
A integral dupla \iint_R f\,dA é o limite dessa soma quando n,m\to\infty, se o limite existir.

Passo 3

Fatorando a soma (separabilidade da função).
Observe que f(x,y)=x\,y é produto de uma função só de x e outra só de y. Assim dentro da soma podemos separar:
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} x_i^* y_j^* = \Big(\sum_{i=1}^{n} x_i^*\Big)\Big(\sum_{j=1}^{m} y_j^*\Big).
Portanto a soma de Riemann fica
S_{n,m} = \big(\Delta x \sum_{i=1}^{n} x_i^*\big)\;\big(\Delta y \sum_{j=1}^{m} y_j^*\big).
Isto é útil porque reduz a dupla soma ao produto de duas somas unidimensionais.

Passo 4

Escolha “conveniente” que zera imediatamente a soma em x.
Com os pontos médios uniformes escolhidos, os x_i^* estão simetricamente distribuídos em torno de 0: para cada i existe um i' tal que x_{i'}^*=-x_i^*. Em particular,
\sum_{i=1}^{n} x_i^* = 0
para qualquer n (desde que a partição seja uniforme e os pontos sejam os pontos médios). Explicando de forma bem direta: podemos emparelhar x_1^* com x_n^*, x_2^* com x_{n-1}^*, etc.; cada par soma zero porque estão nas mesmas distâncias simétricas de 0. Logo
\Delta x \sum_{i=1}^{n} x_i^* = \Delta x \cdot 0 = 0.
Pelo produto em S_{n,m} isso implica
S_{n,m}=0\quad\text{para todos }n,m.
Como as somas de Riemann valem 0 já para qualquer malha uniforme por pontos médios, o limite quando n,m\to\infty também é 0. Portanto, pelo método das somas de Riemann convenientemente escolhidas,
\iint_{R} x y \, dA = 0.

Passo 5

Interpretação e alternativa via separabilidade geral (conectando com integrais unidimensionais).
Mais formalmente, como f(x,y)=g(x)h(y) com g(x)=x e h(y)=y, e R é produto de intervalos, a soma de Riemann separou em produto de somas que aproximam \int_{-1}^{1} x \,dx e \int_{1}^{3} y \,dy. Ou seja
\iint_{R} x y \,dA = \Big(\int_{-1}^{1} x \,dx\Big)\Big(\int_{1}^{3} y \,dy\Big).
Calculemos as integrais unidimensionais para ver por que isso dá zero:
\int_{-1}^{1} x \,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0,
\int_{1}^{3} y \,dy = \left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{3} = \tfrac{9}{2}-\tfrac{1}{2}=4.
Multiplicando: 0\cdot 4 = 0. A vantagem desse argumento é que mostra a razão estrutural (produto de integrais) — mas a conclusão é a mesma: integral dupla =0.

Passo 6

Verificação direta usando o Teorema de Fubini (integrais iteradas).
O Teorema de Fubini diz que se f é contínua (ou integrável) em um retângulo, então a integral dupla pode ser calculada como integral iterada e a ordem de integração pode ser trocada. Aqui f(x,y)=x y é contínua em R, então
\iint_{R} x y \, dA = \int_{y=1}^{3}\Big(\int_{x=-1}^{1} x y \, dx\Big) dy.
Calcule a integral interna tratando y como constante:
\int_{x=-1}^{1} x y \, dx = y\int_{-1}^{1} x \,dx = y\cdot 0 = 0.
Logo a integral externa é
\int_{1}^{3} 0 \, dy = 0.
Se trocarmos a ordem (primeiro em y), também dá zero:
\iint_{R} x y \, dA = \int_{x=-1}^{1}\Big(\int_{y=1}^{3} x y \, dy\Big) dx = \int_{-1}^{1} x \Big(\int_{1}^{3} y \,dy\Big) dx = \Big(\int_{1}^{3} y \,dy\Big)\Big(\int_{-1}^{1} x \,dx\Big) =4\cdot 0=0.
Portanto a verificação pelo Teorema de Fubini confirma o resultado obtido pelas somas de Riemann.

Passo 7

Recapitulando de forma amigável: escolhemos somas de Riemann por pontos médios uniformes onde os pontos x_i^* são simétricos em torno de zero, o que faz a soma em x ser zero e, consequentemente, toda a soma dupla zerar já para qualquer malha. O Teorema de Fubini e a separabilidade x y = x\cdot y confirmam que a integral dupla é produto de \int_{-1}^{1} x\,dx (que é zero) por \int_{1}^{3} y\,dy (que é 4), resultando em zero. Força aí nos estudos — essa estrutura de produto e simetria é uma arma poderosa em provas!

Resposta

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