(FGV-SP) Considere uma função p(x) tal que 2 p(x)-p(2-x)=3 x^2-3 x-2.
a) Calcule p(1).
b) Qual é o valor da soma p(-1)+p(3) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função $ p(x) $ que satisfaz a equação $ 2p(x) - p(2 - x) = 3x^{2} - 3x - 2 $. O conteúdo principal aqui é sobre funções e equações envolvendo funções. Para resolver, vamos precisar manipular essa equação para encontrar os valores específicos de $ p(x) $ que nos pedem nas partes a) e b).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) onde precisamos encontrar $ p(1) $. Para isso, vamos substituir $ x = 1 $ na equação dada:
p(1)
Simplificando, temos:
x = 1
Isso vira:
2p(1) - p(2 - 1) = 3(1)^2 - 3(1) - 2

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), onde precisamos encontrar $ p(-1) + p(3) $. Para isso, vamos usar a equação original duas vezes: uma vez com $ x = -1 $ e outra com $ x = 3 $.
Primeiro, substituindo $ x = -1 $:
p(-1) + p(3)
Simplificando:
x = -1
Agora, substituindo $ x = 3 $:
x = 3
Simplificando:
x = -1

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. $ 2p(-1) - p(3) = 4 $
  2. $ 2p(3) - p(-1) = 16 $
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2:
2p(-1) - p(3) = 4
Agora, somamos com a segunda equação:
2p(3) - p(-1) = 16
Substituindo $ p(-1) = 8 $ na primeira equação:
4p(-1) - 2p(3) = 8

Resposta

a) $ p(1) = -2 $
b) $ p(-1) + p(3) = 8 + 12 = 20 $

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