(FGV-SP) Considere uma função
tal que
.
a) Calcule p(1).
b) Qual é o valor da soma
?
a) Calcule p(1).
b) Qual é o valor da soma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função $ p(x) $ que satisfaz a equação $ 2p(x) - p(2 - x) = 3x^{2} - 3x - 2 $. O conteúdo principal aqui é sobre funções e equações envolvendo funções. Para resolver, vamos precisar manipular essa equação para encontrar os valores específicos de $ p(x) $ que nos pedem nas partes a) e b).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a) onde precisamos encontrar $ p(1) $. Para isso, vamos substituir $ x = 1 $ na equação dada:
Simplificando, temos:
Isso vira:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos encontrar $ p(-1) + p(3) $. Para isso, vamos usar a equação original duas vezes: uma vez com $ x = -1 $ e outra com $ x = 3 $.
Primeiro, substituindo $ x = -1 $:
Simplificando:
Agora, substituindo $ x = 3 $:
Simplificando:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
- $ 2p(-1) - p(3) = 4 $
- $ 2p(3) - p(-1) = 16 $
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2:
Agora, somamos com a segunda equação:
Substituindo $ p(-1) = 8 $ na primeira equação:
Resposta
a) $ p(1) = -2 $
b) $ p(-1) + p(3) = 8 + 12 = 20 $