Inverta a ordem de integração na integral dupla:
integral0^1 integralx^2^raizx f(x, y) d y d x .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma integral dupla onde a ordem de integração está primeiro em $ dy $ depois em $ dx $, e precisamos inverter essa ordem. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas e a técnica de mudança de ordem de integração. Vamos precisar entender como descrever a região de integração e ajustar os limites das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração atuais. A integral dada é:
integral0^1 integralx^2^raizx f(x, y) , dy , dx
Aqui, $ x $ varia de 0 a 1. Para cada $ x $, $ y $ varia de $ x^{2} $ a $ \sqrt{x} $.

Passo 3

Agora, vamos desenhar ou imaginar a região de integração no plano $ xy $. Temos duas curvas:
  • $ y = x^{2} $ (uma parábola)
  • $ y = \sqrt{x} $ (a metade positiva de uma função raiz quadrada)
Queremos saber os valores de $ y $ e, para cada $ y $, quais são os valores de $ x $.

Passo 4

Vamos encontrar os limites de $ y $. Observando as curvas:
  • Quando $ x = 0 $, $ y = 0 $.
  • Quando $ x = 1 $, $ y = 1 $.
    Então, $ y $ varia de 0 a 1.

Passo 5

Para cada $ y $ entre 0 e 1, precisamos encontrar os valores de $ x $ que satisfazem $ x^{2} \leq y \leq \sqrt{x} $.
  • A equação $ y = x^{2} $ dá $ x = \sqrt{y} $.
  • A equação $ y = \sqrt{x} $ dá $ x = y^{2} $.
Portanto, para cada $ y $, $ x $ varia de $ y^{2} $ a $ \sqrt{y} $.

Passo 6

Com isso, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Agora, $ y $ vai de 0 a 1 e, para cada $ y $, $ x $ vai de $ y^{2} $ a $ \sqrt{y} $.

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^1 integraly^2^raizy f(x, y) , dx , dy

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