(0,5) Escreva as fórmulas para o cosseno da soma e cosseno da diferença de dois arcos.

Passo 1

O enunciado pede para escrever as fórmulas de cos(alpha+beta) e cos(alpha-beta). O conteúdo é identidades trigonométricas de soma e diferença de arcos e vamos usar propriedades das funções seno e cosseno, além da fórmula de Euler para facilitar a demonstração.

Passo 2

Para derivar cos(alpha+beta), usamos a fórmula de Euler e^itheta = costheta + isintheta. Como e^i(alpha+beta) = e^ialpha e^ibeta, multiplicamos:
e^ialpha e^ibeta = (cosalpha + isinalpha)(cosbeta + isinbeta) = cosalphacosbeta - sinalphasinbeta + il(cosalphasinbeta + sinalphacosbetar)
A parte real dessa expressão é justamente cos(alpha+beta), ou seja:
cos(alpha+beta) = cosalphacosbeta - sinalphasinbeta

Passo 3

Para obter cos(alpha-beta), note que cos(alpha-beta)=cos(alpha+(-beta)). Sabemos que cos(-beta)=cosbeta e sin(-beta)=-sinbeta. Substituindo na fórmula da soma, chega-se a:
cos(alpha-beta) = cosalphacosbeta + sinalphasinbeta

Resposta

cos(alpha+beta) = cosalphacosbeta - sinalphasinbeta
cos(alpha-beta) = cosalphacosbeta + sinalphasinbeta

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