Inverta a ordem de integração na integral dupla:
integral0^2 integraly^2^4 f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla assim:
integral0^2 integraly^2^4 f(x, y) , dx , dy
O que a pergunta quer é inverter a ordem de integração, ou seja, mudar a ordem de $ dx $ e $ dy $. Para fazer isso, vamos precisar entender a região de integração e ajustar os limites accordingly.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde estamos integrando. A integral original vai de $ y = 0 $ a $ y = 2 $ e, para cada $ y $, de $ x = y^{2} $ a $ x = 4 $.
Então, a gente tem:
  • $ 0 \leq y \leq 2 $
  • $ y^{2} \leq x \leq 4 $

Passo 3

Agora, para inverter a ordem, precisamos expressar $ y $ em termos de $ x $. Vamos ver os limites de $ x $ primeiro. Observando $ y^{2} \leq x \leq 4 $:
  • O menor valor de $ x $ é quando $ y = 0 $: $ x = 0 $
  • O maior valor de $ x $ é $ 4 $
Então, $ 0 \leq x \leq 4 $.

Passo 4

Com $ x $ variando de $ 0 $ a $ 4 $, vamos determinar os limites para $ y $. A desigualdade $ y^{2} \leq x $ significa que $ y \leq \sqrt{x} $. Como $ y $ também vai de $ 0 $ a $ 2 $, os limites de $ y $ para cada $ x $ serão:
$ 0 \leq y \leq \sqrt{x} $
Mas lembre-se que $ y $ não pode ser maior que $ 2 $. Como $ \sqrt{x} $ atinge $ 2 $ quando $ x = 4 $, nossos limites estão consistentes.

Passo 5

Agora, juntando tudo, a integral com a ordem invertida fica:
integral0^4 integral0^raizx f(x, y) , dy , dx

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^4 integral0^raizx f(x, y) , dy , dx

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