Inverta a ordem de integração na integral:
integral0^3[integralx^4 x-x^3 f(x, y) d y] d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma integral dupla na forma:
integral0^3[integralx^4x - x^3 f(x, y) , dy] dx
Nosso objetivo é inverter a ordem de integração, ou seja, passar a integrar primeiro em e depois em . Para isso, vamos precisar analisar a região de integração no plano .

Passo 2

Vamos identificar os limites de integração atuais:
  • O valor de varia de 0 a 3.
  • Para cada valor de , varia de até .
Isso significa que a região de integração está delimitada pelas curvas e .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos desenhar ou imaginar a região de integração. Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas x = 4x - x^3 Rightarrow x^3 - 3x = 0 Rightarrow x(x^2 - 3) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = raiz3 ou x = -raiz3 e :
Como varia de 0 a 3, consideramos apenas e .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para dydx = 4 - 3x^2 = 0 Rightarrow x^2 = 43 Rightarrow x = 2raiz3 approx 1,1547 . Observamos que:
  • Quando , .
  • Quando , (mas como não pode ser negativo nesse contexto, precisamos reconsiderar).
Na verdade, a curva atinge seu valor máximo quando derivamos e igualamos a zero:
Isso nos indica que a curva atinge seu ponto máximo em .

Passo 5

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar ymáximo = 4 times 2raiz3 - (2raiz3)^3 = 8raiz3 - 83raiz3 = 163raiz3 approx 3,079 em termos de . Observamos que:
  • A curva pode ser reescrita como .
  • A curva precisa ser resolvida para em função de , o que pode ser complicado. Porém, para simplificar, consideramos os limites onde varia de 0 até á.
Sabemos que o valor máximo de ocorre em , então calculamos:
á
Portanto, varia de 0 a .

Passo 6

Agora, determinamos os limites de x in [ y, solução de 4x - x^3 = y ] para cada :
  • A partir da curva , temos .
  • A partir da curva , resolvemos para . Contudo, nessa situação, para cada , varia de até a solução de .
Isso resulta em:
çã

Passo 7

Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^163raiz3 [ integraly^solução de 4x - x^3 = y f(x, y) , dx ] dy çã

Resposta

A ordem de integração invertida fica:
integral0^163raiz3 [ integraly^solução de 4x - x^3 = y f(x, y) , dx ] dy çã

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