Inverta a ordem de integração na integral:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma integral dupla na forma:
Nosso objetivo é inverter a ordem de integração, ou seja, passar a integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, vamos precisar analisar a região de integração no plano
.
Passo 2
Vamos identificar os limites de integração atuais:
- O valor de
varia de 0 a 3. - Para cada valor de
, varia de até .
Isso significa que a região de integração está delimitada pelas curvas
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos desenhar ou imaginar a região de integração. Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas
e
:
Como
varia de 0 a 3, consideramos apenas
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para
. Observamos que:
- Quando
, . - Quando
, (mas como não pode ser negativo nesse contexto, precisamos reconsiderar).
Na verdade, a curva
atinge seu valor máximo quando derivamos e igualamos a zero:
Isso nos indica que a curva atinge seu ponto máximo em
.
Passo 5
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observamos que:
- A curva
pode ser reescrita como . - A curva
precisa ser resolvida para em função de , o que pode ser complicado. Porém, para simplificar, consideramos os limites onde varia de 0 até .
Sabemos que o valor máximo de
ocorre em
, então calculamos:
Portanto,
varia de 0 a
.
Passo 6
Agora, determinamos os limites de
para cada
:
- A partir da curva
, temos . - A partir da curva
, resolvemos para . Contudo, nessa situação, para cada , varia de até a solução de .
Isso resulta em:
Passo 7
Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A ordem de integração invertida fica: