Questá a Inverta a ordem de integracco de integral0^1 integralraizx-x^2^2 x e^-x^2-y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla aqui:
integral0^1 integralraizx - x^2^2x e^-x^2 - y^2 , dy , dx
Essa questão está no campo de Cálculo Integral, mais especificamente em integração dupla. Nosso objetivo é inverter a ordem de integração, ou seja, trocar a ordem dos integrais em relação a e . Para isso, vamos precisar entender a região de integração no plano e reescrever os limites de integração de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O intervalo externo é raizx - x^2 = 2x de 0 a 1, e para cada x - x^2 = 4x^2 , 5x^2 - x = 0 implies x(5x - 1) = 0 varia de até .
Vamos interpretar . Podemos reescrever isso como , ou seja, . Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo.
Agora, vamos determinar os pontos de interseção entre e . Igualando as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Então, ou .
Isso significa que a região de integração está limitada entre e , e de a .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar y^2 = x - x^2 implies x^2 - x + y^2 = 0 em termos de x = 1 pm raiz1 - 4y^22 . Vamos determinar os novos limites.
Observando os limites de x = 1 - raiz1 - 4y^22 :
  • O menor valor de x = y2 ocorre quando : .
  • O maior valor de ocorre quando : .
Então, varia de 0 a .
Agora, para cada , precisamos determinar os limites de :
  • A partir da equação , resolvemos para :
Resolvendo a equação quadrática para :
Como estamos no intervalo , escolhemos a solução menor:
  • O limite superior de vem de , então:

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^25 integral1 - raiz1 - 4y^22^y2 e^-x^2 - y^2 , dx , dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^25 integral1 - raiz1 - 4y^22^y2 e^-x^2 - y^2 , dx , dy

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