Questá a Inverta a ordem de integracco de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla aqui:
Essa questão está no campo de Cálculo Integral, mais especificamente em integração dupla. Nosso objetivo é inverter a ordem de integração, ou seja, trocar a ordem dos integrais em relação a
e
. Para isso, vamos precisar entender a região de integração no plano
e reescrever os limites de integração de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. O intervalo externo é
de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até
.
Vamos interpretar
. Podemos reescrever isso como
, ou seja,
. Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo.
Agora, vamos determinar os pontos de interseção entre
e
. Igualando as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Então,
ou
.
Isso significa que a região de integração está limitada entre
e
, e de
a
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Vamos determinar os novos limites.
Observando os limites de
:
- O menor valor de
ocorre quando : . - O maior valor de
ocorre quando : .
Então,
varia de 0 a
.
Agora, para cada
, precisamos determinar os limites de
:
- A partir da equação
, resolvemos para :
Resolvendo a equação quadrática para
:
Como estamos no intervalo
, escolhemos a solução menor:
- O limite superior de
vem de , então:
Passo 4
Agora, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A ordem de integração invertida é: