Resolva o problema de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 (o coeficiente de x^5 da solução)
y^prime prime+(sen x) y^prime+(cos x) y=0, y(0)=2, y^prime(0)=1.
As séries de potências das funções seno e cosseno são
sen x=sumn=0^infty (-1)^n(2 n+1)! x^2 n+1 e cos x=sumn=0^infty (-1)^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que envolvem funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. A tarefa é resolver essa equação usando o método das séries de potências e encontrar o coeficiente de na solução. Para isso, vamos precisar expandir as funções seno e cosseno em séries de potências, aplicar as condições iniciais e , e calcular os coeficientes dos termos até .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + a5 x^5 + dots pode ser expressa como uma série de potências:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 = a1 + 2a2 x + 3a3 x^2 + 4a4 x^3 + 5a5 x^4 + dots
Daí, derivamos y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 = 2a2 + 6a3 x + 12a4 x^2 + 20a5 x^3 + dots para obter e :

Passo 3

Agora, vamos substituir y'' + (sen x) y' + (cos x) y = 0 , sen x = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^2n+1 e cos x = sumn=0^infty (-1)^n(2n)! x^2n na equação diferencial dada:
Sabemos que:
Vamos multiplicar essas séries pelas séries de e respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. Termo 2a2 + 6a3 x + 12a4 x^2 + 20a5 x^3 :
    (sen x) y' approx x(a1) + dots = a1 x + dots
  2. Termo :
    Usando as primeiras poucas termos da série de :
  3. Termo (cos x) y approx (1 - x^22) (a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + a5 x^5) :
    Usando as primeiras poucas termos da série de a0 + a1 x + (a2 - a02) x^2 + (a3 - a12) x^3 + (a4 - a22) x^4 + (a5 - a32) x^5 :
    Multiplicando e coletando os termos até , temos:

Passo 5

Agora, juntamos todos os termos na equação diferencial:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de y'' + (sen x) y' + (cos x) y = (2a2 + 6a3 x + 12a4 x^2 + 20a5 x^3) + (a1 x) + (a0 + a1 x + (a2 - a02) x^2 + (a3 - a12) x^3 + dots) = 0 a zero para encontrar os valores de 2a2 + a0 = 0 Rightarrow 2a2 + 2 = 0 Rightarrow a2 = -1 e 6a3 + a1 = 0 Rightarrow 6a3 + 1 = 0 Rightarrow a3 = -16 :
  1. Termo constante ( 12a4 + (a2 - a02) = 0 Rightarrow 12a4 + (-1 - 1) = 0 Rightarrow 12a4 -2 = 0 Rightarrow a4 = 16 ):
    20a5 + (a3 - a12) = 0 Rightarrow 20a5 + (-16 - 12) = 0 Rightarrow 20a5 - 23 = 0 Rightarrow a5 = 130
  2. Termo linear ( ):
  3. Termo quadrático ( ):
  4. Termo cúbico ( ):

Resposta

O coeficiente de na solução é .

Exercícios relacionados