Resolva o problema de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 (o coeficiente de
da solução)
.
As séries de potências das funções seno e cosseno são
As séries de potências das funções seno e cosseno são
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes que envolvem funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. A tarefa é resolver essa equação usando o método das séries de potências e encontrar o coeficiente de
na solução. Para isso, vamos precisar expandir as funções seno e cosseno em séries de potências, aplicar as condições iniciais
e
, e calcular os coeficientes dos termos até
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências:
Daí, derivamos
para obter
e
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Sabemos que:
Vamos multiplicar essas séries pelas séries de
e
respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
-
Termo
: -
Termo :
Usando as primeiras poucas termos da série de : -
Termo
:
Usando as primeiras poucas termos da série de: Multiplicando e coletando os termos até, temos:
Passo 5
Agora, juntamos todos os termos na equação diferencial:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero para encontrar os valores de
e
:
-
Termo constante (
): -
Termo linear (
): -
Termo quadrático (
): -
Termo cúbico (
):
Resposta
O coeficiente de
na solução é
.