Seja Gamma a curva determinada pela equação x^3+y^3=6 x y e seja P=(3,3).
Mostre que o ponto P pertence a Gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva chamada Gamma, definida pela equação x^3 + y^3 = 6xy. E tem um ponto específico, P = (3,3). Nosso objetivo aqui é mostrar que esse ponto P realmente está na curva Gamma. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como verificar se um ponto está numa curva, basicamente substituindo as coordenadas do ponto na equação da curva e vendo se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que o ponto P = (3,3) pertence à curva Gamma. Isso quer dizer que, se a gente substituir x por 3 e y por 3 na equação da curva, a igualdade deve ser verdadeira. Ou seja, vamos calcular x^3 + y^3 e ver se isso é igual a 6xy quando x = 3 e y = 3.

Passo 3

Vamos calcular a parte esquerda da equação: x^3 + y^3. Substituindo x = 3 e y = 3, temos:
x^3 + y^3 = 3^3 + 3^3 = 27 + 27 = 54

Passo 4

Agora, vamos calcular a parte direita da equação: 6xy. Mais uma vez, substituindo x = 3 e y = 3, temos:
6xy = 6 times 3 times 3 = 6 times 9 = 54

Passo 5

Comparamos os dois resultados que obtivemos:
x^3 + y^3 = 54 e 6xy = 54
Vemos que ambos os lados da equação são iguais, ou seja, 54 = 54.

Resposta

Então, como x^3 + y^3 = 6xy é verdadeiro quando x = 3 e y = 3, concluímos que o ponto P = (3,3) pertence à curva Gamma.

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