Inverta a ordem de integração:
integral0^pi / 4 integral0^tan (x) f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral0^pi/4integral0^tan(x)f(x,y),dy,dx
O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais duplas. Para isso, precisamos descrever a região de integração R no plano (x,y) e depois reescrever os limites trocando a ordem dx,dy.

Passo 2

Nosso intervalo original é
0 <= x <= pi4, 0 <= y <= tan(x)
Isso significa que R=(x,y)mid 0<= x<= pi/4,;0<= y<= tan(x).

Passo 3

Para inverter, projetamos R no eixo y. Como x vai até pi/4, o maior valor de y ocorre em y=tan(pi/4)=1. E o menor é y=0. Logo
0 <= y <= 1

Passo 4

Para um y fixo em [0,1], a condição y<= tan(x) equivale a
x >= arctan(y)
Juntamente com x<= pi/4, temos
arctan(y)<= x<= pi4

Passo 5

Trocando a ordem de integração, primeiro integramos em x de arctan(y) até pi/4 e depois em y de 0 até 1. Assim a integral fica
integral0^1integralarctan(y)^pi/4f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1integralarctan(y)^pi/4f(x,y),dx,dy

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