Inverta a ordem de integração. integral0^pi[integral0^sen x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da dupla
integral0^pil(integral0^sin xf(x,y),dyr),dx
O conteúdo é integração dupla e uso do Teorema de Fubini: em vez de integrar primeiro em y e depois em x, vamos descrever o mesmo domínio integrando primeiro em x.

Passo 2

Vamos analisar o domínio de integração
D=(x,y):0<= x<= pi,;0<= y<= sin x
Como y varia de 0 até sin x, seu valor mínimo é 0 e o máximo é 1 (pois sin x<=1).

Passo 3

Para inverter, fixamos um y em [0,1] e vemos para quais x vale 0<= y<= sin x. Isso equivale a
sin x>= yLongrightarrow xin[arcsin(y),,pi-arcsin(y)]

Passo 4

Com isso, a integral com ordem invertida fica
integraly=0^1l(integralx=arcsin(y)^pi-arcsin(y)f(x,y),dxr),dy

Resposta

integral0^1integralarcsin(y)^pi-arcsin(y)f(x,y),dx,dy

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