Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
A questão pede para inverter a ordem de integração de
. O conteúdo é descrição de uma região
no plano
e troca da ordem de integração.
Passo 2
Vamos primeiro caracterizar a região
:
Para cada em
,
varia de
(curva inferior) até
(linha superior). Logo
Para cada
[
D={(x,y):1\le x\le e,,\ln x\le y\le x}.
D={(x,y):1\le x\le e,,\ln x\le y\le x}.
Passo 3
Desenhando ou analisando os limites vemos que o menor
em
é
e o maior é
(no ponto
). Para inverter, fixamos
e achamos os valores de
que satisfazem
Passo 4
Da condição
vem
, e de
vem
. Além disso
. Precisamos ver como isso funciona em dois trechos de
:
- Se
, então e , de modo que vai de 1 até . - Se
, então e , de modo que vai de até .
Passo 5
Por fim, escrevemos a integral invertida como soma de dois integrais adequados ao domínio de
.