Inverta a ordem de integração. integral1^e[integralln x^x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

A questão pede para inverter a ordem de integração de integral1^el[integralln x^xf(x,y),dyr]dx. O conteúdo é descrição de uma região D no plano (x,y) e troca da ordem de integração.

Passo 2

Vamos primeiro caracterizar a região D:
Para cada x em [1,e], y varia de ln x (curva inferior) até x (linha superior). Logo
[
D={(x,y):1\le x\le e,,\ln x\le y\le x}.

Passo 3

Desenhando ou analisando os limites vemos que o menor y em D é ymin=ln 1=0 e o maior é ymax=e (no ponto (e,e)). Para inverter, fixamos y e achamos os valores de x que satisfazem
ln x<= y<= x, 1<= x<= e

Passo 4

Da condição y<= x vem x>= y, e de y>=ln x vem x<= e^y. Além disso 1<= x<= e. Precisamos ver como isso funciona em dois trechos de y:
  • Se 0<= y<=1, então y<=1 e e^y<= e, de modo que x vai de 1 até e^y.
  • Se 1<= y<= e, então y>=1 e e^y>= e, de modo que x vai de y até e.

Passo 5

Por fim, escrevemos a integral invertida como soma de dois integrais adequados ao domínio de y.

Resposta

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