Inverta a ordem de integração.
integral0^1[integrale^y-1^e^y f(x, y) d x] d y.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração em integraly=0^1l[integralx=e^y-1^e^yf(x,y),dxr]dy. Aqui o conteúdo é mudança de ordem de integração em uma região D do plano (x,y). Vamos precisar entender bem as fronteiras definidas por x=e^y-1 e x=e^y para 0<= y<=1.

Passo 2

Desenho mental da região: as curvas x=e^y-1 e x=e^y são crescentes em y. Quando y=0, a curva esquerda vale x=e^-1, e quando y=1, a curva direita vale x=e^1=e. Logo, o menor x em D é e^-1 e o maior é e. Concluímos que na ordem invertida xin[e^-1,e].

Passo 3

Para um x fixo entre e^-1 e e, a condição e^y-1<= x<= e^y equivale a duas desigualdades:
e^y-1<= x&iff y-1<=ln xiff y<=1+ln x, x<= e^y&iff ln x<= y
Além disso, ainda vale 0<= y<=1. Combinando tudo,
ln x<= y<=1+ln x, 0<= y<=1
implica
yin[max(0,ln x),,min(1,1+ln x)]

Passo 4

Como ln x é negativo para x<1 e positivo para x>1, precisamos separar em dois pedaços:
Para xin[e^-1,1], temos ln x<=0, logo
yin[0,,1+ln x]
Para xin[1,e], temos ln x>=0, logo
yin[ln x,,1]

Passo 5

Portanto, invertendo a ordem de integração, a integral vira a soma de dois termos:
integralx=e^-1^1integraly=0^1+ln xf(x,y),dy,dx;+integralx=1^eintegraly=ln x^1f(x,y),dy,dx

Resposta

integrale^-1^1integral0^1+ln xf(x,y),dy,dx+integral1^eintegralln x^1f(x,y),dy,dx.

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