Inverta a ordem de integração. integral0^pi4[integral0^tan x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

A integral dada é integral0^pi4gl[integral0^tan xf(x,y),dygr]dx. O conteúdo é troca da ordem de integração numa integral dupla, e vamos precisar descrever a região de integração no plano (x,y).

Passo 2

A região de integração D vem dos limites originais:
D=(x,y):0<= x<=tfracpi4,;0<= y<=tan x

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. Como y varia de 0 até tan(pi/4)=1, temos
0<= y<= 1

Passo 4

Para cada y fixo, a condição y<=tan x equivale a x>=arctan y, mantendo o teto x<=tfracpi4. Logo, para cada y em [0,1],
arctan y<= x<= tfracpi4

Resposta

integral0^1gl[integralarctan y^tfracpi4f(x,y),dxgr]dy

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