Nos Exercícios de 1 a 19, escreva os quatro primeiros elementos da seqüência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
nn+1 sen n pi2

Passo 1

Então, temos uma sequência matemática onde cada termo é dado por nn+1 cdot sin(npi2). O exercício pede para escrevermos os quatro primeiros termos dessa sequência e determinar se ela converge (isto é, se ela se aproxima de um número específico à medida que n aumenta) ou diverge (se não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, também precisamos encontrar o limite para o qual ela converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e análise de limites.

Passo 2

Vamos começar calculando os quatro primeiros termos da sequência substituindo n por 1, 2, 3 e 4 na expressão nn+1 cdot sin(npi2).

Passo 3

Para n = 1:
11+1 cdot sin(1 cdot pi2) = 12 cdot sin(pi2) = 12 cdot 1 = 12
Para n = 2:
22+1 cdot sin(2 cdot pi2) = 23 cdot sin(pi) = 23 cdot 0 = 0
Para n = 3:
33+1 cdot sin(3 cdot pi2) = 34 cdot sin(3pi2) = 34 cdot (-1) = -34
Para n = 4:
44+1 cdot sin(4 cdot pi2) = 45 cdot sin(2pi) = 45 cdot 0 = 0

Passo 4

Agora que temos os primeiros quatro termos da sequência: 12, 0, -34 e 0, percebemos que a parte do sin(npi2) está alternando entre 1, 0, -1 e 0 conforme n aumenta. Isso faz a sequência oscilar entre valores positivos, zero e negativos.

Passo 5

Para determinar se a sequência converge ou diverge, precisamos analisar o comportamento geral dela quando n tende ao infinito. Observamos que o termo nn+1 tende a 1 à medida que n cresce, pois o denominador n+1 fica quase igual ao numerador n.
No entanto, sin(npi2) não tende a um único valor quando n aumenta. Em vez disso, ele continua a oscilar periodicamente entre 1, 0, -1 e 0. Isso significa que mesmo que nn+1 se aproxime de 1, a multiplicação por sin(npi2) faz a sequência não se estabilizar em um único valor.

Resposta

A sequência apresentada não converge; ela é divergente.

Exercícios relacionados