Nos Exercícios de 1 a 19, escreva os quatro primeiros elementos da seqüência e determine se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Então, temos uma sequência matemática onde cada termo é dado por
. O exercício pede para escrevermos os quatro primeiros termos dessa sequência e determinar se ela converge (isto é, se ela se aproxima de um número específico à medida que
aumenta) ou diverge (se não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, também precisamos encontrar o limite para o qual ela converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e análise de limites.
Passo 2
Vamos começar calculando os quatro primeiros termos da sequência substituindo
por 1, 2, 3 e 4 na expressão
.
Passo 3
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos os primeiros quatro termos da sequência:
,
,
e
, percebemos que a parte do
está alternando entre
,
,
e
conforme
aumenta. Isso faz a sequência oscilar entre valores positivos, zero e negativos.
Passo 5
Para determinar se a sequência converge ou diverge, precisamos analisar o comportamento geral dela quando
tende ao infinito. Observamos que o termo
tende a
à medida que
cresce, pois o denominador
fica quase igual ao numerador
.
No entanto,
não tende a um único valor quando
aumenta. Em vez disso, ele continua a oscilar periodicamente entre
,
,
e
. Isso significa que mesmo que
se aproxime de
, a multiplicação por
faz a sequência não se estabilizar em um único valor.
Resposta
A sequência apresentada não converge; ela é divergente.