Inverta a ordem de integração
integral1^e[integralln x^x f(x, y) d y] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração do integral integralx=1^egl[integraly=ln x^xf(x,y),dygr]dx. O conteúdo aqui é integração dupla e vamos precisar entender a região de integração no plano (x,y).

Passo 2

Vamos chamar de D a região definida por 1<= x<= e e ln x<= y<= x. Para inverter a ordem, usamos a ideia de projetar D no eixo y e, em cada y, encontrar os valores de x tais que (x,y)in D.

Passo 3

As condições ln x<= y<= x são equivalentes a x<= e^y (pela primeira) e x>= y (pela segunda), além de 1<= x<= e. Assim, para cada y, temos

Passo 4

Precisamos achar o intervalo de y em que max(1,y)<=min(e,e^y). Para 0<= y<=1 vale max(1,y)=1 e min(e,e^y)=e^y, então xin[1,e^y]. Para 1<= y<= e vale max(1,y)=y e min(e,e^y)=e, então xin[y,e].

Resposta

integralx=1^eintegraly=ln x^xf(x,y),dy,dx=integraly=0^1integralx=1^e^yf(x,y),dx,dy+integraly=1^eintegralx=y^ef(x,y),dx,dy.

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