Represente graficamente o conjunto Imagem de f(z) para o domínio especificado
f(z)=Im(z), em |z| <= 2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto imagem da função f(z)=Im(z) quando o domínio é o disco |z|<=2. É um exercício de análise de mapeamento de conjuntos no plano complexo.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos f(z)=y. Ou seja, a imagem de cada ponto (x,y) do domínio é simplesmente sua coordenada y.

Passo 3

A condição do domínio é |z|<=2, isto é,
x^2 + y^2 <= 4

Passo 4

Para um dado y existir algum x real que satisfaça isso precisamos de
x^2 = 4 - y^2 >= 0 Longrightarrow y^2 <= 4 Longrightarrow -2 <= y <= 2

Passo 5

Logo o conjunto de todas as coordenadas y atingidas é o intervalo fechado de -2 até 2.

Passo 6

Graficamente, como a imagem de f é um número real y, basta marcar no eixo real o segmento de -2 a 2.

Resposta

O conjunto imagem de f é o intervalo real fechado [-2,2].

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