Obtenha o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo plano y=1-x e a superfície z=1-x^2 utilizando uma integral tripla na ordem dydxdz (não será considerada outra ordem).

Passo 1

Vou resumir o que o exercício pede: calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo plano y=1-x e pela superfície z=1-x^2 usando uma integral tripla na ordem dy,dx,dz. Precisamos determinar limites de integração compatíveis com essa ordem.

Passo 2

Vamos projetar o sólido no plano xz. Como z>=0 e z<=1-x^2, temos x^2<=1-z, ou seja, para cada z fixo em [0,1], x varia de 0 até raiz1-z.
Para cada par (x,z) dentro dessa projeção, y vai do plano y=0 até o plano y=1-x. Logo, 0<= y<=1-x.

Passo 3

Montamos então a integral tripla:
V = integralz=0^1 integralx=0^raiz1 - z integraly=0^1 - x 1 ;dy;dx;dz

Passo 4

Primeiro, integramos em y:
integraly=0^1 - x 1;dy = 1 - x
Isso reduz V a
V = integralz=0^1 integralx=0^raiz1 - z (1 - x);dx;dz

Passo 5

Agora, integramos em x:
integral0^raiz1 - z (1 - x);dx = l[x - x^22r]0^raiz1 - z = raiz1 - z - 1 - z2
Logo
V = integral0^1 l(raiz1 - z - tfrac1 - z2r) dz

Passo 6

Por fim, separamos em dois integrais em z:
integral0^1 raiz1 - z,dz = 23, integral0^1 (1 - z),dz = 12
Assim
V = 23 - 12cdot12 = 23 - 14 = 512

Resposta

tfrac512

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