Obtenha o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo plano
e a superfície
utilizando uma integral tripla na ordem
(não será considerada outra ordem).
Passo 1
Vou resumir o que o exercício pede: calcular o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo plano
e pela superfície
usando uma integral tripla na ordem
. Precisamos determinar limites de integração compatíveis com essa ordem.
Passo 2
Vamos projetar o sólido no plano
. Como
e
, temos
, ou seja, para cada
fixo em
,
varia de 0 até
.
Para cada par dentro dessa projeção,
vai do plano
até o plano
. Logo,
.
Para cada par
Passo 3
Montamos então a integral tripla:
Passo 4
Primeiro, integramos em
:
Isso reduz
a
Passo 5
Agora, integramos em
:
Logo
Passo 6
Por fim, separamos em dois integrais em
:
Assim