Quantas são as soluções da equação \operatorname{sen}(3 x)- \operatorname{sen}\left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=0, para × no intervalo [0, \pi] ?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) mais de 3 .

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas são as soluções da equação \operatorname{sen}(3 x)- \operatorname{sen}\!\left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)=0 para x no intervalo [0,\pi]?”\n
Informações dadas:
  • A equação é \operatorname{sen}(3x)-\operatorname{sen}\!\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
  • O domínio de interesse é o intervalo fechado [0,\pi].
  • A pergunta é apenas a contagem de soluções (existem 0, 1, 2, 3 ou mais de 3, segundo as alternativas).

Passo 2

Primeiro simplifico a parte \operatorname{sen}\!\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right). Há uma identidade trigonométrica simples que usamos aqui:
\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta.
Aplicando com \theta=2x obtemos
\operatorname{sen}\!\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos(2x).
Logo a equação fica
\operatorname{sen}(3x)-\cos(2x)=0,
ou seja
\operatorname{sen}(3x)=\cos(2x).

Passo 3

Para comparar funções seno, escrevo o \cos(2x) como seno deslocado: usa-se
\cos(2x)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right),
pois \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta. Assim a equação vira
\operatorname{sen}(3x)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right).
Agora uso a solução geral da equação \operatorname{sen}A=\operatorname{sen}B, que é dada por duas famílias:
A=B+2k\pi\quad\text{ou}\quad A=\pi-B+2k\pi,
onde k é qualquer inteiro. Aqui A=3x e B=\dfrac{\pi}{2}-2x.

Passo 4

Aplico a primeira família 3x = \dfrac{\pi}{2}-2x + 2k\pi. Resolvendo para x:
3x + 2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \quad\Rightarrow\quad 5x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi.
Daí
x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{2k\pi}{5}.
Esta é a primeira família de soluções. Agora precisamos achar os valores inteiros de k tais que x\in[0,\pi]. Faço isso testando valores de k próximos a zero (porque o passo \dfrac{2\pi}{5} é menor que \pi, então poucos k cabem no intervalo):
  • Para k=0: x=\dfrac{\pi}{10}\in[0,\pi].
  • Para k=1: x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{4\pi}{10}=\dfrac{5\pi}{10}=\dfrac{\pi}{2}\in[0,\pi].
  • Para k=2: x=\dfrac{\pi}{10}+2\cdot\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{8\pi}{10}=\dfrac{9\pi}{10}\in[0,\pi].
  • Para k=3: x=\dfrac{\pi}{10}+3\cdot\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{13\pi}{10}>\pi (fora do intervalo).
  • Para k=-1: x=\dfrac{\pi}{10}-\dfrac{2\pi}{5}=-\dfrac{3\pi}{10}<0 (fora do intervalo).
Portanto, da primeira família obtemos as soluções no intervalo:
x=\dfrac{\pi}{10},\quad x=\dfrac{\pi}{2},\quad x=\dfrac{9\pi}{10}.

Passo 5

Agora aplico a segunda família 3x = \pi -\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right) + 2k\pi. Simplifico:
3x = \pi - \dfrac{\pi}{2} + 2x + 2k\pi = \dfrac{\pi}{2} + 2x + 2k\pi.
Subtraindo 2x dos dois lados:
x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi.
Essa é a segunda família. Para k=0 temos x=\dfrac{\pi}{2}, que está em [0,\pi]. Para k=1 x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi>\pi, e para k=-1 x=\dfrac{\pi}{2}-2\pi<0. Portanto a única solução desta família no intervalo é x=\dfrac{\pi}{2}. Note que esse valor já apareceu na primeira família (para k=1), então não gera solução nova.

Passo 6

Reunindo as soluções distintas obtidas no intervalo [0,\pi] temos:
x=\dfrac{\pi}{10},\quad x=\dfrac{\pi}{2},\quad x=\dfrac{9\pi}{10}.
São três soluções distintas no intervalo pedido.

Resposta

3 (D)

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