Quantas são as soluções da equação
, para × no intervalo
?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) mais de 3 .
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) mais de 3 .
Passo 1
O enunciado pede: “Quantas são as soluções da equação
para
no intervalo
?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A equação é
. - O domínio de interesse é o intervalo fechado
. - A pergunta é apenas a contagem de soluções (existem 0, 1, 2, 3 ou mais de 3, segundo as alternativas).
Passo 2
Primeiro simplifico a parte
. Há uma identidade trigonométrica simples que usamos aqui:
Aplicando com
obtemos
Logo a equação fica
ou seja
Passo 3
Para comparar funções seno, escrevo o
como seno deslocado: usa-se
pois
. Assim a equação vira
Agora uso a solução geral da equação
, que é dada por duas famílias:
onde
é qualquer inteiro. Aqui
e
.
Passo 4
Aplico a primeira família
. Resolvendo para
:
Daí
Esta é a primeira família de soluções. Agora precisamos achar os valores inteiros de
tais que
. Faço isso testando valores de
próximos a zero (porque o passo
é menor que
, então poucos
cabem no intervalo):
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: (fora do intervalo). - Para
: (fora do intervalo).
Portanto, da primeira família obtemos as soluções no intervalo:
Passo 5
Agora aplico a segunda família
. Simplifico:
Subtraindo
dos dois lados:
Essa é a segunda família. Para
temos
, que está em
. Para
dá
, e para
dá
. Portanto a única solução desta família no intervalo é
. Note que esse valor já apareceu na primeira família (para
), então não gera solução nova.
Passo 6
Reunindo as soluções distintas obtidas no intervalo
temos:
São três soluções distintas no intervalo pedido.
Resposta
3 (D)