Verifique que existe uma única função linear f: R^3 R^3 que satisfaz a seguinte condição e escreva-a explicitamente:
f(l 1 1 0 )=(l 0 1 3 ) f(l 0 1 0 )=(l 0 0 5 ) f(l 1 1 1 )=(l 1 0 1 )

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear fcolon R^3to R^3 com condições nos vetores
v1 = 110,;v2 = 010,;v3 = 111,
e
f(v1)=013, f(v2)=005, f(v3)=101
O conteúdo é transformação linear e mudança de base: basta expressar a base padrão em termos de v1,v2,v3 e usar linearidade.

Passo 2

Note que
v1 - v2 = 110-010=100=e1, v2=010=e2,
v3 - v1 = 111-110=001=e3
Como e1,e2,e3 é a base padrão, podemos obter f em qualquer vetor depois de achar f(e1), f(e2), f(e3).

Passo 3

Pela linearidade,
f(e1)=f(v1)-f(v2) =013-005 =01-2,
f(e2)=f(v2) =005,
f(e3)=f(v3)-f(v1) =101-013 =1-1-2

Passo 4

Para um vetor genérico ,(x,y,z), temos
f(x,y,z) =x,f(e1)+y,f(e2)+z,f(e3) =x01-2 +y005 +z1-1-2,
que se simplifica para
f(x,y,z)= z x - z -2x +5y -2z

Resposta

fcolon R^3toR^3, f(x,y,z) = z x - z -2x +5y -2z

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