Invertendo a ordem de integração, calcule:
integral0^8 integralraiz[3]x^2 1y^4+1 d y d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral0^8 integralraiz[3]x^2 1y^4+1 ,dy,dx invertendo a ordem de integração. Vamos usar conceitos de domínio de integração em coordenadas cartesianas e integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro a gente descreve a região D no plano (x,y). Originalmente:
0 <= x <= 8, raiz[3]x <= y <= 2
Mas dá pra reescrever trocando as desigualdades de modo que y seja a primeira variável:
0 <= y <= 2, 0 <= x <= y^3

Passo 3

Com a nova descrição de D, a integral vira
integral0^8 integralraiz[3]x^2 1y^4+1 ,dy,dx = integral0^2 integral0^y^3 1y^4+1 ,dx,dy

Passo 4

Agora integramos primeiro em x, sabendo que 1/(y^4+1) é constante em relação a x:
integral0^y^3 1y^4+1 ,dx = xy^4+1|0^y^3 = y^3y^4+1
Logo a integral completa fica
integral0^2 y^3y^4+1 ,dy

Passo 5

Para calcular integral0^2 y^3y^4+1 ,dy, usamos a substituição u = y^4 + 1, de modo que du = 4y^3,dy. Os limites mudam: quando y=0, u=1; quando y=2, u=17. Assim:
integral0^2 y^3y^4+1 ,dy = 14 integral1^17 1u ,du = 14 ln(u) |1^17 = 14 ln(17)

Resposta

14ln(17)

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