O exercício pede para calcular a integral invertendo a ordem de integração. Vamos usar conceitos de domínio de integração em coordenadas cartesianas e integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro a gente descreve a região no plano . Originalmente:
Mas dá pra reescrever trocando as desigualdades de modo que seja a primeira variável:
Passo 3
Com a nova descrição de , a integral vira
Passo 4
Agora integramos primeiro em , sabendo que é constante em relação a :
Logo a integral completa fica
integral0^2 y^3y^4+1 ,dy
Passo 5
Para calcular integral0^2 y^3y^4+1 ,dy, usamos a substituição u = y^4 + 1, de modo que du = 4y^3,dy. Os limites mudam: quando y=0, u=1; quando y=2, u=17. Assim: