Resolva os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hôpital):
lim x 4 raiz1+2 x-3raizx-2;

Passo 1

Enunciado: Vamos calcular limxto 4 raiz1+2x-3raizx-2. O conteúdo aqui é limites de tipo tfrac00 e vamos usar racionalização de expressões com raízes.

Passo 2

Testando a substituição direta: ao substituir x=4 temos raiz1+8-3=3-3=0 e raiz4-2=2-2=0, então é indeterminação tfrac00. Precisamos de manipulação algébrica.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raiz1+2x+3. Assim:
raiz1+2x-3raizx-2cdot raiz1+2x+3raiz1+2x+3 = (1+2x)-9(raizx-2)(raiz1+2x+3)
Isso simplifica para:
2x-8(raizx-2)(raiz1+2x+3) = 2(x-4)(raizx-2)(raiz1+2x+3)

Passo 4

Agora, no denominador temos raizx-2, que também se anula em x=4. Podemos usar que:
raizx-2 = (raizx-2)(raizx+2)raizx+2 = x-4raizx+2
Substituindo isso, fica:
2(x-4)x-4raizx+2,( raiz1+2x+3 ) = 2(x-4),(raizx+2)(x-4),( raiz1+2x+3 )
Cancelamos x-4:
2(raizx+2)raiz1+2x+3

Passo 5

Com a expressão simplificada, basta agora substituir x=4: temos raiz4+2=2+2=4 e raiz1+8+3=3+3=6. Logo:
2 cdot 46 = 86 = 43

Resposta

tfrac43

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