Invertendo a ordem de integração, calcule:
integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y

Passo 1

Começando, a gente tem o integral duplo integral0^1integraly^1 x^2e^xy,dx,dy. O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais triplas ou duplas e depois cálculo de integrais simples. Vamos usar a descrição da região de integração e o Teorema de Fubini para inverter as integrais.

Passo 2

A região em (x,y) está dada por 0<= y<=1 e y<= x<=1. No plano xy, isso significa que x vai de 0 a 1 e, para cada x, y vai de 0 até x. Assim, ao inverter a ordem, obtemos
integral0^1integral0^x x^2e^xy,dy,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral interna em y. Mantendo x como constante,
integral0^x x^2e^xy,dy = x^2integral0^x e^xy,dy
Para resolver, fazemos u=xy, então du = x,dy e dy = du/x. Os limites em u vão de 0 a xcdot x = x^2. Isso dá
x^2cdot 1xintegral0^x^2 e^u,du = xl[e^ur]0^x^2 = xl(e^x^2-1r)

Passo 4

Ficamos com a integral em x:
integral0^1 xl(e^x^2-1r),dx = integral0^1 x e^x^2,dx - integral0^1 x,dx
Para integral0^1 x e^x^2,dx, fazemos v=x^2, dv=2x,dx então x,dx = dv/2. Os limites de v vão de 0 a 1, resultando em
12integral0^1 e^v,dv = 12(e-1)
E
integral0^1 x,dx = 12

Passo 5

Subtraindo os resultados, o integral total vale
e-12 - 12 = e-22

Passo 6

Portanto, ao inverter a ordem de integração e calcular passo a passo, chegamos na resposta final abaixo.

Resposta

e-22

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