Invertendo a ordem de integração, calcule:
Passo 1
Começando, a gente tem o integral duplo
. O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais triplas ou duplas e depois cálculo de integrais simples. Vamos usar a descrição da região de integração e o Teorema de Fubini para inverter as integrais.
Passo 2
A região em
está dada por
e
. No plano
, isso significa que
vai de 0 a 1 e, para cada
,
vai de 0 até
. Assim, ao inverter a ordem, obtemos
Passo 3
Agora calculamos a integral interna em
. Mantendo
como constante,
Para resolver, fazemos
, então
e
. Os limites em
vão de
a
. Isso dá
Passo 4
Ficamos com a integral em
:
Para
, fazemos
,
então
. Os limites de
vão de 0 a 1, resultando em
E
Passo 5
Subtraindo os resultados, o integral total vale
Passo 6
Portanto, ao inverter a ordem de integração e calcular passo a passo, chegamos na resposta final abaixo.