Inverter a ordem de integração em
.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla:
O que queremos é inverter a ordem de integração, ou seja, mudar de integrar primeiro em $ y $ e depois em $ x $ para integrar primeiro em $ x $ e depois em $ y $. Para fazer isso, precisamos entender a região de integração e determinar novos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais de integração:
- $ x $ varia de 0 a 3.
- Para cada $ x $, $ y $ varia de $ y = x $ até $ y = 4x - x^2 $.
Vamos imaginar isso no plano $ xy $. Temos duas curvas:
- $ y = x $ — uma linha reta.
- $ y = 4x - x^2 $ — uma parábola que abre para baixo.
Encontrar onde essas curvas se interceptam ajuda a determinar a região de integração.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas $ y = x $ e $ y = 4x - x^2 $:
Isso nos dá $ x = 0 $ e $ x = 3 $. Então, as curvas se intersectam nesses pontos.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar $ x $ em termos de $ y $. Isso significa que para cada $ y $, vamos encontrar os limites inferiores e superiores de $ x $.
Primeiro, vamos reescrever as equações para $ x $:
- Da equação $ y = x $, temos $ x = y $.
- Da equação $ y = 4x - x^2 $, reorganizando:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver em relação a $ x $:
Isso nos dá duas soluções para $ x $:
- $ x = 2 + \sqrt{4 - y} $
- $ x = 2 - \sqrt{4 - y} $
Passo 5
Agora, vamos determinar os novos limites de integração:
- Para $ y $: Observando as interseções, $ y $ varia de 0 a 3.
- Para $ x $: Para cada $ y $ no intervalo [0, 3], $ x $ varia de $ x = y $ até $ x = 2 + \sqrt{4 - y} $.
Porém, precisamos verificar se $ 2 - \sqrt{4 - y} $ está dentro dos limites originais de $ x $. No nosso caso, como $ x $ varia de 0 a 3, e $ 2 - \sqrt{4 - y} $ é sempre menor ou igual a 2, estamos bem para usar apenas o intervalo de $ y $ até $ 2 + \sqrt{4 - y} $.
Passo 6
Finalmente, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
Isso significa que agora estamos integrando primeiro em $ x $ de $ x = y $ até $ x = 2 + \sqrt{4 - y} $, e depois em $ y $ de 0 a 3.
Resposta
A ordem de integração invertida é: