Seja D o disco unitário na origem. Expressar integral duplaD(1+x^2+ y^2)^1 / 2 d x d y como uma integral sobre o retângulo [0,1] times[0, 2 pi] e calculá-la.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla sobre o disco unitário $ D $ na origem. O que a gente precisa calcular é $ \iint_{D} \sqrt{1 + x^{2} + y^{2}} , dx , dy $. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, que é o que vamos precisar para transformar essa integral sobre o disco em uma integral mais simples sobre um retângulo D .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta). Nas coordenadas polares:
  • $ x = r \cos(\theta) $
  • $ y = r \sin(\theta) $
  • O elemento de área $ dx , dy $ vira $ r , dr , d\theta $
Substituindo na nossa função:
x = r cos(theta)
Então, a integral fica:
y = r sin(theta)
E os limites de integração passam a ser:
  • $ r $ de 0 a 1
  • $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes, já que $ \theta $ e $ r $ são independentes:
theta
A primeira integral é simples:
r
Fica então:
integral0^2pi dtheta times integral0^1 r raiz1 + r^2 , dr
Para resolver a segunda integral, fazemos uma substituição:
  • Seja $ u = 1 + r^{2} $, então $ du = 2r , dr $ ou $ \frac{du}{2} = r , dr $
A integral vira:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Simplificando:
2pi times integral0^1 r raiz1 + r^2 , dr
Multiplicando pelo $ 2\pi $:
u = 1 + r^2

Resposta

A integral vale $ \frac{2\pi}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) $.

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