Seja
o disco unitário na origem. Expressar
como uma integral sobre o retângulo
,
e calculá-la.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla sobre o disco unitário $ D $ na origem. O que a gente precisa calcular é $ \iint_{D} \sqrt{1 + x^{2} + y^{2}} , dx , dy $. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, que é o que vamos precisar para transformar essa integral sobre o disco em uma integral mais simples sobre um retângulo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como converter de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Nas coordenadas polares:
- $ x = r \cos(\theta) $
- $ y = r \sin(\theta) $
- O elemento de área $ dx , dy $ vira $ r , dr , d\theta $
Substituindo na nossa função:
Então, a integral fica:
E os limites de integração passam a ser:
- $ r $ de 0 a 1
- $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $
Passo 3
Agora, vamos separar a integral em duas partes, já que $ \theta $ e $ r $ são independentes:
A primeira integral é simples:
Fica então:
Para resolver a segunda integral, fazemos uma substituição:
- Seja $ u = 1 + r^{2} $, então $ du = 2r , dr $ ou $ \frac{du}{2} = r , dr $
A integral vira:
Simplificando:
Multiplicando pelo $ 2\pi $:
Resposta
A integral vale $ \frac{2\pi}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right) $.