Inverter a ordem de integração:
Passo 1
No enunciado temos a integral dupla
e queremos trocar a ordem de integração. Para isso, vamos descrever a região de integração
no plano
e depois reescrever os limites em função de
antes de
.
Passo 2
A região
é dada por
Ou seja, é o conjunto de pontos entre as curvas
e
, com
variando de
a
.
Passo 3
Para encontrar a projeção de
no eixo
, notamos que
começa em
(na reta
) e vai até o maior valor de
, que ocorre em
. Logo
Passo 4
Agora, para cada
fixo em
, determinamos os valores de
tais que
. Precisamos de
ou seja,
. Isso implica
Mas devemos respeitar ainda
.
Passo 5
Na parte em que
, a condição
só é possível se
, isto é,
. Nesse caso
.
Na parte em que , combinando com
vemos que isso vale para todo
, dando
.
Na parte em que
Passo 6
Agora escrevemos a integral original como soma de duas integrais em
, usando os limites que encontramos: