Inverter a ordem de integração:
integral-1^2 integral0^y^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

No enunciado temos a integral dupla
integral-1^2integral0^y^2 f(x,y),dx,dy
e queremos trocar a ordem de integração. Para isso, vamos descrever a região de integração R no plano xy e depois reescrever os limites em função de x antes de y.

Passo 2

A região R é dada por
R=(x,y)mid -1<= y<=2,;0<= x<= y^2
Ou seja, é o conjunto de pontos entre as curvas x=0 e x=y^2, com y variando de -1 a 2.

Passo 3

Para encontrar a projeção de R no eixo x, notamos que x começa em 0 (na reta x=0) e vai até o maior valor de y^2, que ocorre em y=2. Logo
0<= x<=4

Passo 4

Agora, para cada x fixo em [0,4], determinamos os valores de y tais que (x,y)in R. Precisamos de
-1<= y<=2 e 0<= x<= y^2,
ou seja, y^2>= x. Isso implica
y<= -raizx ou y>= raizx
Mas devemos respeitar ainda -1<= y<=2.

Passo 5

Na parte em que y<= -raizx, a condição -1<= y só é possível se -raizx>= -1, isto é, x<=1. Nesse caso yin[-1,-raizx].
Na parte em que y>=raizx, combinando com y<=2 vemos que isso vale para todo x<=4, dando yin[raizx,2].

Passo 6

Agora escrevemos a integral original como soma de duas integrais em x, usando os limites que encontramos:
integral-1^2integral0^y^2 f(x,y),dx,dy = integral0^1integral-1^-raizx f(x,y),dy,dx ;+; integral0^4integralraizx^2 f(x,y),dy,dx

Resposta

integral-1^2integral0^y^2 f(x,y),dx,dy = integral0^1integral-1^-raizx f(x,y),dy,dx ;+; integral0^4integralraizx^2 f(x,y),dy,dx

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