Inverter a ordem de integração
integral0^1 integral3^x^2 f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral dupla que precisa inverter a ordem de integração. O enunciado é:
integral0^1 integral3^x^2 f(x, y) , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente na área de integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Olha só, varia de 0 a 1, e para cada , varia de 3 até . Mas peraí, quando tá entre 0 e 1, vai de 0 a 1 também. Então a gente tem indo de 3 até algo menor que 1, o que não faz muito sentido porque 3 é maior que 1. Isso significa que essa região de integração na verdade não existe dentro desses limites, já que não pode ser simultaneamente maior que 3 e menor que quando é no máximo 1.

Passo 3

No entanto, supondo que houve um erro de digitação e que os limites estão corretos, vamos proceder com o método geral para inverter a ordem de integração. Para isso, a gente precisa:
  1. Desenhar ou visualizar a região de integração no plano .
  2. Determinar os novos limites de integração após invertermos a ordem.

Passo 4

Vamos considerar que os limites corretos sejam de 3 a , mesmo que isso não faça sentido inicialmente. Desenhando isso:
  • vai de 0 a 1.
  • Para cada , vai de 3 até .
Isso implica que está entre 3 e , mas como quando , não há região onde possa estar entre 3 e . Portanto, a integral original é nula.

Passo 5

Portanto, ao invertermos a ordem de integração, observaríamos que não há valores de e que satisfaçam e simultaneamente. Logo, a integral invertida também será nula.

Resposta

A integral invertida é igual a zero.

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