Inverter a ordem de integração
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma integral dupla que precisa inverter a ordem de integração. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente na área de integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Olha só,
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de 3 até
. Mas peraí,
quando
tá entre 0 e 1,
vai de 0 a 1 também. Então a gente tem
indo de 3 até algo menor que 1, o que não faz muito sentido porque 3 é maior que 1. Isso significa que essa região de integração na verdade não existe dentro desses limites, já que
não pode ser simultaneamente maior que 3 e menor que
quando
é no máximo 1.
Passo 3
No entanto, supondo que houve um erro de digitação e que os limites estão corretos, vamos proceder com o método geral para inverter a ordem de integração. Para isso, a gente precisa:
- Desenhar ou visualizar a região de integração no plano
. - Determinar os novos limites de integração após invertermos a ordem.
Passo 4
Vamos considerar que os limites corretos sejam
de 3 a
, mesmo que isso não faça sentido inicialmente. Desenhando isso:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, vai de 3 até .
Isso implica que
está entre 3 e
, mas como
quando
, não há região onde
possa estar entre 3 e
. Portanto, a integral original é nula.
Passo 5
Portanto, ao invertermos a ordem de integração, observaríamos que não há valores de
e
que satisfaçam
e
simultaneamente. Logo, a integral invertida também será nula.
Resposta
A integral invertida é igual a zero.