Ao inverter a região de integração da integral iterada
, obtém-se
◯
◯
Nenhuma das anteriores ◯
Passo 1
O enunciado dá a soma de duas integrais iteradas sobre
:
O que se pede é inverter a ordem de integração (fazer a integral em
por fora e em
por dentro) e identificar qual das alternativas dadas corresponde à integral invertida correta.
Informações relevantes dadas:
- Para
a porção do domínio (vou chamar de ) tem variando entre e . - Para
a porção do domínio (vou chamar de ) tem variando entre e . - O domínio total
é a união .
A tarefa agora é descreverprojetado no eixo e, para cada nessa projeção, encontrar o intervalo correspondente de .
Passo 2
Análise de
(primeira integral). Começo por entender a forma das curvas que definem os limites em
.
O limite direito em
é
e o limite esquerdo é
. Use a relação
Para
temos
. As desigualdades
equivalem a
Reescrevendo em função de
:
Além disso em
vale
. Portanto, para pontos de
temos simultaneamente
Para existir
compatível, é preciso
, ou seja
Concluo que a projeção de
no eixo
é o intervalo
e, para cada
em
, os
de
variam entre
Passo 3
Análise de
(segunda integral). Aqui temos
e
Para entender a projeção no eixo
, calcule os extremos possíveis:
-
ocorre quando no limite esquerdo: . -
na segunda integral é com , que vale .
Portanto a projeção deestá contida em . Agora, para inverter precisamos expressar as condições como restrições sobre dado .
Da desigualdade esquerda
e lembrando
em
, obtemos
Da desigualdade direita
temos
Como em
também vale
, para cada
os
que satisfazem ambas as desigualdades são aqueles com
Agora precisamos juntar
e
e simplificar a descrição em função de
.
Passo 4
União
e projeção no eixo
.
Já vimos:
-
projeta em com em . -
projeta em com em .
Agora, para um
fixo, quais
estão em
?
- Se
: dá e dá . Esses dois intervalos se juntam (são consecutivos em e têm interseção em ), portanto a união é
- Se
: não contribui (pois só tem ). dá porque para tem-se . Logo também neste caso a faixa de é
Assim, para todo
na projeção total
o intervalo em
é o mesmo:
Verificações rápidas nos extremos:
- Em
: lower , upper — ponto (coincide com início das duas partes). - Em
: lower , upper — junta os dois pedaços. - Em
: lower , upper — ponto .
Tudo consistente.
Passo 5
Conclusão lógica: a integral com a ordem invertida (integrando primeiro em
e depois em
) deve ter
variando de
a
e, para cada
,
variando de
até
. Entre as alternativas dadas a que corresponde a isso é a segunda:
.