Ao inverter a região de integração da integral iterada
\int_{-1}^{0}\left[\int_{1-\sqrt{1+y}}^{1+\sqrt{1+y}} f(x, y) d x\right] d y+\int_{0}^{3}\left[\int_{\frac{y^{2}}{3}}^{1+\sqrt{1+y}} f(x, y) d x\right] d y, obtém-se
\int_{0}^{3}\left[\int_{\sqrt{3 x}}^{(x-1)^{2}-1} f(x, y) d y\right] d x
\int_{0}^{3}\left[\int_{(x-1)^{2}-1}^{\sqrt{3 x}} f(x, y) d y\right] d x
Nenhuma das anteriores ◯
\int_{1-\sqrt{1+y}}^{e^{y}}\left[\int_{-1}^{0} f(x, y) d y\right] d x+\int_{\frac{y^{2}}{3}}^{1+\sqrt{1+y}}\left[\int_{0}^{3} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado dá a soma de duas integrais iteradas sobre y:
\int_{-1}^{0}\left[\int_{1-\sqrt{1+y}}^{1+\sqrt{1+y}} f(x, y)\,dx\right]dy +\int_{0}^{3}\left[\int_{\frac{y^{2}}{3}}^{1+\sqrt{1+y}} f(x, y)\,dx\right]dy.
O que se pede é inverter a ordem de integração (fazer a integral em x por fora e em y por dentro) e identificar qual das alternativas dadas corresponde à integral invertida correta.
Informações relevantes dadas:
  • Para -1\le y\le 0 a porção do domínio (vou chamar de R_1) tem x variando entre 1-\sqrt{1+y} e 1+\sqrt{1+y}.
  • Para 0\le y\le 3 a porção do domínio (vou chamar de R_2) tem x variando entre \dfrac{y^{2}}{3} e 1+\sqrt{1+y}.
  • O domínio total R é a união R_1\cup R_2.
    A tarefa agora é descrever R projetado no eixo x e, para cada x nessa projeção, encontrar o intervalo correspondente de y.

Passo 2

Análise de R_1 (primeira integral). Começo por entender a forma das curvas que definem os limites em x.
O limite direito em R_1 é x=1+\sqrt{1+y} e o limite esquerdo é x=1-\sqrt{1+y}. Use a relação
t=\sqrt{1+y}\quad\Rightarrow\quad y=t^{2}-1,\qquad t\ge 0.
Para -1\le y\le 0 temos t\in[0,1]. As desigualdades 1-t\le x\le 1+t equivalem a
|x-1|\le t \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}\le t^{2}=1+y.
Reescrevendo em função de x:
y \ge (x-1)^{2}-1.
Além disso em R_1 vale -1\le y\le 0. Portanto, para pontos de R_1 temos simultaneamente
(x-1)^{2}-1 \le y \le 0,\qquad -1\le y\le 0.
Para existir y compatível, é preciso (x-1)^{2}-1\le 0, ou seja
(x-1)^{2}\le 1 \quad\Longrightarrow\quad x\in[0,2].
Concluo que a projeção de R_1 no eixo x é o intervalo [0,2] e, para cada x em [0,2], os y de R_1 variam entre
y_{\min}^{(1)}=(x-1)^{2}-1\quad\text{e}\quad y_{\max}^{(1)}=0.

Passo 3

Análise de R_2 (segunda integral). Aqui temos 0\le y\le 3 e
\frac{y^{2}}{3}\le x \le 1+\sqrt{1+y}.
Para entender a projeção no eixo x, calcule os extremos possíveis:
  • x_{\min} ocorre quando y=0 no limite esquerdo: \dfrac{0^{2}}{3}=0.
  • x_{\max} na segunda integral é 1+\sqrt{1+y} com y=3, que vale 1+\sqrt{4}=3.
    Portanto a projeção de R_2 está contida em [0,3]. Agora, para inverter precisamos expressar as condições como restrições sobre y dado x.
Da desigualdade esquerda \dfrac{y^{2}}{3}\le x e lembrando y\ge 0 em R_2, obtemos
y^{2}\le 3x \quad\Longrightarrow\quad 0\le y \le \sqrt{3x}.
Da desigualdade direita x\le 1+\sqrt{1+y} temos
\sqrt{1+y}\ge x-1 \quad\Longrightarrow\quad 1+y \ge (x-1)^{2} \quad\Longrightarrow\quad y \ge (x-1)^{2}-1.
Como em R_2 também vale y\ge 0, para cada x os y que satisfazem ambas as desigualdades são aqueles com
\max\{0,\,(x-1)^{2}-1\}\le y \le \sqrt{3x}.
Agora precisamos juntar R_1 e R_2 e simplificar a descrição em função de x.

Passo 4

União R=R_1\cup R_2 e projeção no eixo x.
Já vimos:
  • R_1 projeta em x\in[0,2] com y em [(x-1)^{2}-1,\,0].
  • R_2 projeta em x\in[0,3] com y em [\max\{0,(x-1)^{2}-1\},\,\sqrt{3x}].
Agora, para um x fixo, quais y estão em R?
  • Se x\in[0,2]: R_1 y\in[(x-1)^{2}-1,0] e R_2 y\in[0,\sqrt{3x}]. Esses dois intervalos se juntam (são consecutivos em y e têm interseção em y=0), portanto a união é
y\in\big[(x-1)^{2}-1,\\ \sqrt{3x}\big].
  • Se x\in[2,3]: R_1 não contribui (pois R_1 só tem x\le 2). R_2 y\in[(x-1)^{2}-1,\sqrt{3x}] porque para x\ge 2 tem-se (x-1)^{2}-1\ge 0. Logo também neste caso a faixa de y é
y\in\big[(x-1)^{2}-1,\\ \sqrt{3x}\big].
Assim, para todo x na projeção total x\in[0,3] o intervalo em y é o mesmo:
(x,y)\in R \quad\Longleftrightarrow\quad x\in[0,3]\quad\text{e}\quad y\in\big[(x-1)^{2}-1,\\ \sqrt{3x}\big].
Verificações rápidas nos extremos:
  • Em x=0: lower =(0-1)^{2}-1=0, upper \sqrt{3\cdot 0}=0 — ponto y=0 (coincide com início das duas partes).
  • Em x=2: lower =0, upper \sqrt{6} — junta os dois pedaços.
  • Em x=3: lower =(3-1)^{2}-1=3, upper \sqrt{9}=3 — ponto y=3.
    Tudo consistente.

Passo 5

Conclusão lógica: a integral com a ordem invertida (integrando primeiro em y e depois em x) deve ter x variando de 0 a 3 e, para cada x, y variando de (x-1)^{2}-1 até \sqrt{3x}. Entre as alternativas dadas a que corresponde a isso é a segunda:
\displaystyle \int_{0}^{3}\left[\int_{(x-1)^{2}-1}^{\sqrt{3 x}} f(x, y)\,dy\right]dx.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{3}\left[\int_{(x-1)^{2}-1}^{\sqrt{3 x}} f(x, y)\,dy\right]dx

Exercícios relacionados