Sobre a série \sum_{n=2}^{+\infty} a_{n} dada por a_{n}=(1+\ln (\mathrm{n})) / \mathrm{n}^{\wedge} 2+5 é correto afirmar que existe uma série convergente \sum_{n=2}^{+\infty} b_{n} de modo que \sum_{n=2}^{+\infty} a_{n} é
a) Convergente, e \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0
b) Divergente, e \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} * b_{n}=0
c) Convergente, e \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=+\infty
d) Divergente, e \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n} b_{n}}=0
e) Nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

O enunciado nos dá a série \sum_{n=2}^{\infty} a_{n} com
a_{n}=\frac{1+\ln(n)}{n^{2}+5}.
A pergunta é: existe uma série convergente \sum_{n=2}^{\infty} b_{n} tal que a afirmação de alguma das alternativas (a)–(e) seja verdadeira? As alternativas relevantes descrevem se \sum a_{n} é convergente ou divergente e dão um limite envolvendo \dfrac{a_{n}}{b_{n}}, a_{n}b_{n} ou \dfrac{1}{a_{n}b_{n}}. Precisamos decidir qual alternativa é correta.

Passo 2

Primeiro vamos verificar a convergência de \sum_{n=2}^{\infty} a_{n}.
Ferramentas que vou usar (explicação curta e prática):
  • Uma série do tipo \sum \dfrac{1}{n^{p}} (série p) converge se p>1 e diverge se p\le 1.
  • Se 0\le u_{n}\le v_{n} para todo n e \sum v_{n} converge, então \sum u_{n} também converge (teste da comparação direta).
  • Para mostrar que \sum \dfrac{\ln n}{n^{2}} converge podemos usar o teste da integral (ou integração por partes para avaliar a integral); isso é um clássico.
Observação simples de comparação:
Para todo n\ge 2 vale n^{2}+5 \ge n^{2}. Portanto
0\le a_{n}=\frac{1+\ln n}{n^{2}+5}\le \frac{1+\ln n}{n^{2}}.

Passo 3

Agora mostramos que \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1+\ln n}{n^{2}} converge. Escrevemos essa série como soma de duas:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1+\ln n}{n^{2}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}.
  • A série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é uma série p com p=2>1, então converge.
  • Para \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{\ln n}{n^{2}} aplico o teste da integral. Considere a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}} para x\ge 2. Calculo a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx.
Faço integração por partes: seja u=\ln x e dv=x^{-2}dx. Então du=\dfrac{dx}{x} e v=-\dfrac{1}{x}. Assim
\int\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx=-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}+C.
Ao avaliar de 2 até +\infty obtemos um valor finito (os termos em infinito vão para 0). Logo a integral converge e, pelo teste da integral, a série \sum \dfrac{\ln n}{n^{2}} também converge.
Portanto \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1+\ln n}{n^{2}} converge e, por comparação direta com a_{n}\le \dfrac{1+\ln n}{n^{2}}, concluímos que
\sum_{n=2}^{\infty} a_{n}
converge.
(Simplesmente: \sum a_{n} converge porque seus termos são menores que os termos de uma série convergente.)

Passo 4

Agora precisamos verificar as alternativas envolvendo existência de uma série convergente \sum b_{n} que satisfaça a propriedade descrita. Uma escolha natural e simples para \sum b_{n} é a série p
b_{n}=\frac{1}{n^{2}},
que é convergente ( p=2>1). Vou testar as quantidades pedidas usando esse b_{n}.
Calculo o quociente \dfrac{a_{n}}{b_{n}}:
\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\dfrac{1+\ln n}{n^{2}+5}}{\dfrac{1}{n^{2}}}=(1+\ln n)\cdot\frac{n^{2}}{n^{2}+5}.
Observe que \dfrac{n^{2}}{n^{2}+5}\to 1 quando n\to\infty, e (1+\ln n)\to +\infty quando n\to\infty. Portanto o produto tende a +\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=+\infty.

Passo 5

Interpretação: com a escolha \;b_{n}=\dfrac{1}{n^{2}} (série \sum b_{n} convergente) verificamos que \sum a_{n} é convergente e que \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=+\infty. Isso corresponde exatamente à alternativa (c).
As outras alternativas não se encaixam porque:
  • (a) exige \lim \dfrac{a_{n}}{b_{n}}=0, o que é falso para a escolha natural b_{n}=1/n^{2} (o limite é +\infty); além disso já provamos \sum a_{n} converge, então a parte sobre divergência nas alternativas (b) e (d) está errada.
  • Poder-se-ia tentar outras escolhas de \{b_{n}\}, mas a alternativa (c) pede existência de alguma série convergente \sum b_{n} para a qual o limite do quociente seja +\infty; a escolha b_{n}=1/n^{2} já permite isso, então (c) é satisfeita e é a correta.

Resposta

c)

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