Sobre a série
dada por
é correto afirmar que existe uma série convergente
de modo que
é
a) Convergente, e
b) Divergente, e
c) Convergente, e
d) Divergente, e
e) Nenhuma das alternativas anteriores
a) Convergente, e
b) Divergente, e
c) Convergente, e
d) Divergente, e
e) Nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
O enunciado nos dá a série
com
A pergunta é: existe uma série convergente
tal que a afirmação de alguma das alternativas (a)–(e) seja verdadeira? As alternativas relevantes descrevem se
é convergente ou divergente e dão um limite envolvendo
,
ou
. Precisamos decidir qual alternativa é correta.
Passo 2
Primeiro vamos verificar a convergência de
.
Ferramentas que vou usar (explicação curta e prática):
- Uma série do tipo
(série p) converge se e diverge se . - Se
para todo e converge, então também converge (teste da comparação direta). - Para mostrar que
converge podemos usar o teste da integral (ou integração por partes para avaliar a integral); isso é um clássico.
Observação simples de comparação:
Para todo vale
. Portanto
Para todo
Passo 3
Agora mostramos que
converge. Escrevemos essa série como soma de duas:
- A série
é uma série com , então converge. - Para
aplico o teste da integral. Considere a função para . Calculo a integral imprópria
Faço integração por partes: seja
e
. Então
e
. Assim
Ao avaliar de
até
obtemos um valor finito (os termos em infinito vão para
). Logo a integral converge e, pelo teste da integral, a série
também converge.
Portanto
converge e, por comparação direta com
, concluímos que
converge.
(Simplesmente:
converge porque seus termos são menores que os termos de uma série convergente.)
Passo 4
Agora precisamos verificar as alternativas envolvendo existência de uma série convergente
que satisfaça a propriedade descrita. Uma escolha natural e simples para
é a série p
que é convergente (
). Vou testar as quantidades pedidas usando esse
.
Calculo o quociente
:
Observe que
quando
, e
quando
. Portanto o produto tende a
:
Passo 5
Interpretação: com a escolha
(série
convergente) verificamos que
é convergente e que
. Isso corresponde exatamente à alternativa (c).
As outras alternativas não se encaixam porque:
- (a) exige
, o que é falso para a escolha natural (o limite é ); além disso já provamos converge, então a parte sobre divergência nas alternativas (b) e (d) está errada. - Poder-se-ia tentar outras escolhas de
, mas a alternativa (c) pede existência de alguma série convergente para a qual o limite do quociente seja ; a escolha já permite isso, então (c) é satisfeita e é a correta.
Resposta
c)