Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
k )lut=a(t) ux x u(x, 0)=f(x), a(t)>0.

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação de difusão com coeficiente dependente do tempo usando transformada de Fourier. O conteúdo aqui é a aplicação da transformada de Fourier em x e a solução de uma equação diferencial ordinária em t para o transformado, além de conhecer a inversão da transformada e o núcleo gaussiano.

Passo 2

Vamos definir a transformada de Fourier de u(x,t) em relação a x como hat u(k,t)= Fu(cdot,t)(k). Como Fuxx(k)=-k^2hat u(k,t), a PDE ut=a(t)uxx vira a ODE
partialthat u(k,t)=-k^2a(t)hat u(k,t),hat u(k,0)=F(k)= Ff(k)

Passo 3

Essa ODE em t é de separação de variáveis. Integramos de 0 até t:
lnhat u(k,t)F(k)=-k^2integral0^t a(s),dsRightarrowhat u(k,t)=F(k)expl(-k^2A(t)r), onde definimos A(t)=integral0^t a(s),ds.

Passo 4

Agora aplicamos a inversa da transformada de Fourier:
u(x,t)=12piintegral-infty^inftye^ikxhat u(k,t),dk=12piintegral-infty^inftye^ikxe^-k^2A(t)F(k),dk

Passo 5

Reconhecemos essa integral como uma convolução com o núcleo gaussiano cuja inversa é conhecida:
F^-1e^-k^2A(x)=1raiz4pi Ae^-x^2/(4A)

Resposta

u(x,t)=integral-infty^infty1raiz4pi!integral0^t a(s),dsexp!l(-(x-y)^24integral0^t a(s),dsr)f(y),dy

Exercícios relacionados