Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
.
Passo 1
O exercício pede para resolver a equação de difusão com coeficiente dependente do tempo usando transformada de Fourier. O conteúdo aqui é a aplicação da transformada de Fourier em x e a solução de uma equação diferencial ordinária em t para o transformado, além de conhecer a inversão da transformada e o núcleo gaussiano.
Passo 2
Vamos definir a transformada de Fourier de u(x,t) em relação a x como
. Como
, a PDE
vira a ODE
Passo 3
Essa ODE em t é de separação de variáveis. Integramos de 0 até t:
Passo 4
Agora aplicamos a inversa da transformada de Fourier:
Passo 5
Reconhecemos essa integral como uma convolução com o núcleo gaussiano cuja inversa é conhecida: