Seja A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) um ponto pertencente a um plano \pi e \vec{n}=(a, b, c), \vec{n} \neq \overrightarrow{0}, um vetor normal ao plano, isto é, \vec{n} é ortogonal a todo vetor paralelo a \pi. Então um ponto P=(x, y, z) pertence a \pi se, e somente se, \vec{n} \perp \overrightarrow{A P}.
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onde d=-a x_{1}-b y_{1}-c z_{1}. A equação a x+b y+c z+d=0 é a equação geral do plano \pi.
Podemos dizer que o vetor normal ao plano fixa sua direção e que o ponto A fixa sua posição. Ou seja, planos paralelos têm a mesma direção.
Sabendo que a reta r: X=(5,-4,1)+t(3,2,1), t \in \mathbb{R}, é ortogonal a um plano \pi, dê um vetor normal a ele. Se \pi passa pelo ponto A=(2,1,-2), determine o ponto B \in r que também pertence ao plano \pi, ou seja, qual é o ponto B=r \cap \pi ?
Passo 1
O enunciado e os dados que temos (listei tudo o que importa):
A reta r é dada em forma paramétrica por
X=(5,-4,1)+t(3,2,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto significa que um ponto genérico de r tem coordenadas
x=5+3t,\quad y=-4+2t,\quad z=1+t.
A reta r é ortogonal ao plano \pi.
O plano \pi passa pelo ponto A=(2,1,-2).
O que se pede:
Dar um vetor normal a \pi.
Encontrar o ponto B=r\cap\pi (ou seja, o ponto de interseção da reta r com o plano \pi).
Passo 2
Entendimento geométrico e ideia do método (sem ainda calcular):
Se uma reta é ortogonal a um plano, então o vetor diretor dessa reta é um vetor normal ao plano. Em outras palavras, a direção da reta é ortogonal a todo vetor paralelo ao plano, logo é um normal.
A reta r tem vetor diretor \vec{v}_r=(3,2,1) (esses números vem diretamente da expressão paramétrica de r).
Portanto qualquer vetor proporcional a \vec{v}_r é um vetor normal de \pi. Vou escolher o mais simples: \vec{n}=(3,2,1).
(Na prova pode-se responder também \vec{n}=k(3,2,1), com k\neq0.)
Passo 3
Construção da equação do plano usando a forma ponto-normal (aula rápida sobre a fórmula):
A forma ponto-normal do plano diz que um ponto P=(x,y,z) pertence a \pi se, e somente se,
\vec{n}\cdot (P-A)=0,
onde \vec{n} é um vetor normal ao plano e A é um ponto conhecido do plano.
Explicando as notações:
\vec{n} é o vetor normal; aqui escolhemos \vec{n}=(3,2,1).
P-A é o vetor que vai do ponto A até um ponto genérico P do plano; suas componentes são (x-x_1,\;y-y_1,\;z-z_1) se A=(x_1,y_1,z_1).
O produto escalar \vec{n}\cdot(P-A) é a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1) se \vec{n}=(a,b,c).
Aplicando com \vec{n}=(3,2,1) e A=(2,1,-2):
3(x-2)+2(y-1)+1(z-(-2))=0.
Desenvolvendo os parênteses:
3x-6+2y-2+z+2=0.
Somando os termos constantes:
3x+2y+z-6=0.
Essa é a equação geral do plano \pi.
Passo 4
Interseção reta–plano: substituir a paramétrica da reta na equação do plano (estratégia e porquê):
Um ponto B da reta tem coordenadas \big(5+3t,\,-4+2t,\,1+t\big).
Como B pertence ao plano \pi, suas coordenadas devem satisfazer a equação de \pi:
3x+2y+z-6=0.
Substituo x=5+3t, y=-4+2t, z=1+t na equação do plano e resolvo para t. Isso dá uma equação linear em t.
Passo 5
Cálculo do parâmetro t (contando passo-a-passo as somas e produtos):
Substituindo:
3(5+3t)+2(-4+2t)+(1+t)-6=0.
Multiplicando e agrupando termos:
15+9t -8+4t +1 + t -6 = 0.
Somando os termos constantes: 15-8+1-6 = 2.
Somando os coeficientes de t: 9t+4t+t = 14t.
Assim a equação vira
14t + 2 = 0.
Isolando t:
t = -\dfrac{2}{14} = -\dfrac{1}{7}.
Passo 6
Encontrar as coordenadas do ponto B substituindo t na paramétrica da reta:
Observações finais e checagem rápida (dica de prova):
Sempre que a reta for ortogonal ao plano, o vetor diretor da reta pode ser usado diretamente como vetor normal do plano (ou qualquer múltiplo escalar).
Se quiser conferir rapidamente, pode substituir as coordenadas de B na equação do plano 3x+2y+z-6=0 e verificar que o resultado é zero (checagem direta).
Parabéns: você encontrou um vetor normal e o ponto de interseção; procedimento padrão para esse tipo de exercício.