Seja A=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) um ponto pertencente a um plano \pi e \vec{n}=(a, b, c), \vec{n} \neq \overrightarrow{0}, um vetor normal ao plano, isto é, \vec{n} é ortogonal a todo vetor paralelo a \pi. Então um ponto P=(x, y, z) pertence a \pi se, e somente se, \vec{n} \perp \overrightarrow{A P}.
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\vec{n} \cdot \overrightarrow{A P}=0 \Leftrightarrow \vec{n} \cdot(P-A)=0 \Leftrightarrow a x+b y+c z+d=0,
onde d=-a x_{1}-b y_{1}-c z_{1}. A equação a x+b y+c z+d=0 é a equação geral do plano \pi.
Podemos dizer que o vetor normal ao plano fixa sua direção e que o ponto A fixa sua posição. Ou seja, planos paralelos têm a mesma direção.
Se um plano \pi intercepta os eixos coordenados nos pontos (p, 0,0),(0, q, 0),(0,0, r) com p q r \neq 0, então \pi admite a equação
\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1,
denominada equação segmentária do plano \pi.
  1. Esboce a parte do plano \pi do item anterior que fica no primeiro octante ( x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0 ). Para isso, determine os pontos de interseção de \pi com os eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado dá a equação segmentária do plano
\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1,
com p q r \neq 0, e pede para esboçar a parte desse plano que fica no primeiro octante (x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0).
As perguntas claras são:
  • Quais são os pontos de interseção de \pi com os eixos x, y e z?
  • Como esboçar a parte do plano que está no primeiro octante?
Informações importantes fornecidas:
  • A equação do plano é \dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}+\dfrac{z}{r}=1.
  • Sabemos que p q r \neq 0 (cada intercepto é diferente de zero).

Passo 2

Para encontrar a interseção do plano com o eixo x colocamos as coordenadas y e z iguais a zero (pois em todo ponto do eixo x temos y=0 e z=0). Substituindo na equação do plano:
\frac{x}{p}+\frac{0}{q}+\frac{0}{r}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x}{p}=1 \quad\Rightarrow\quad x=p.
Logo o ponto de interseção com o eixo x é (p,0,0).

Passo 3

De modo análogo, para a interseção com o eixo y fazemos x=0 e z=0:
\frac{0}{p}+\frac{y}{q}+\frac{0}{r}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{y}{q}=1 \quad\Rightarrow\quad y=q,
portanto o ponto de interseção com o eixo y é (0,q,0).

Passo 4

E para a interseção com o eixo z fazemos x=0 e y=0:
\frac{0}{p}+\frac{0}{q}+\frac{z}{r}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{z}{r}=1 \quad\Rightarrow\quad z=r,
portanto o ponto de interseção com o eixo z é (0,0,r).

Passo 5

Observação sobre sinais: para que esses três pontos realmente pertençam ao primeiro octante (ou seja, tenham coordenadas não negativas) é necessário que
p>0,\qquad q>0,\qquad r>0.
Se algum dos valores for negativo, o intercepto correspondente fica no semi-eixo negativo e a parte do plano no primeiro octante será diferente (pode até não existir se nenhum intercepto for positivo o bastante).

Passo 6

Descrevendo geometricamente a parte do plano no primeiro octante (caso p,q,r>0):
  • A interseção do plano com os planos coordenados dá os lados do triângulo:
    • interseção com o plano z=0 é a reta \dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}=1 cuja extremidades são (p,0,0) e (0,q,0);
    • interseção com o plano y=0 é a reta \dfrac{x}{p}+\dfrac{z}{r}=1 com extremidades (p,0,0) e (0,0,r);
    • interseção com o plano x=0 é a reta \dfrac{y}{q}+\dfrac{z}{r}=1 com extremidades (0,q,0) e (0,0,r).
  • Portanto a parte do plano que fica no primeiro octante é o triângulo de vértices (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r).
  • Dica prática para desenhar: trace os eixos x,y,z positivos (por convenção x para a direita, y para dentro/para cima à esquerda, z vertical), marque as posições p,q,r sobre cada eixo e una os três pontos por segmentos retos — esse triângulo inclinado é a região procurada. Se quiser, use um exemplo numérico simples (por ex. p=2,\;q=3,\;r=4) para visualizar antes de desenhar o caso geral.

Passo 7

Exemplo paramétrico de uma aresta (útil na prova para mostrar rigor): segmento entre (p,0,0) e (0,q,0) pode ser escrito como
(x,y,z)=(1-t)(p,0,0)+t(0,q,0)=(p(1-t),\;qt,\;0),\qquad 0\le t\le 1,
o que confirma que é uma reta no plano ligando os dois interceptos. Mesma ideia para as outras arestas.

Resposta

(p,0,0)
(0,q,0)
(0,0,r)
A parte do plano \dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}+\dfrac{z}{r}=1 que fica no primeiro octante (quando p,q,r>0) é o triângulo de vértices (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r).

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