Um investidor deseja ter \mathrm{R} \ 15.000,00 ao final de um and. Para isso pretende fazer aplicações de mesmo valor conforme o seguinte agendamento: a primeira daqui a três meses, a segunda um mês depois e a última apenas no último mês. De qual deve ser o valor aplicado se a taxa de juros anual efetiva for deçõêêúúê6,2 %$ ?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Pedido: Encontrar o valor da aplicação única (mesmo valor em cada aplicação) que o investidor deve fazer, de modo que o montante acumulado ao final de um ano seja \mathrm{R}\$\,15.000,00.
  • Dados do enunciado:
    • Montante desejado ao final de um ano: \mathrm{R}\$\,15.000,00.
    • Serão feitas 3 aplicações de igual valor, nos seguintes instantes (contando em meses a partir de agora): a primeira daqui a 3 meses, a segunda 1 mês depois da primeira (ou seja, aos 4 meses) e a terceira no último mês (ou seja, aos 12 meses).
    • Taxa de juros: taxa anual efetiva de 6{,}2\%, ou seja 0{,}062 ao ano.
  • Observação importante (tirada diretamente do enunciado): os prazos das aplicações vieram da leitura das posições “primeira daqui a três meses, a segunda um mês depois e a última apenas no último mês”, então usei os instantes 3, 4 e 12 meses.
  • Objetivo operacional: calcular o valor X de cada aplicação tal que a soma dos valores acumulados dessas aplicações até o mês 12 seja \mathrm{R}\$\,15.000,00.

Passo 2

Conceitos usados (aulas rápidas e intuitivas).
  • Juros compostos e fator de acumulação: se aplico uma quantia A por um certo número de períodos com taxa por período i (efetiva), o montante ao final é A(1+i)^{n}, onde n é o número de períodos de capitalização. Aqui usamos meses como período.
  • Conversão da taxa anual efetiva para taxa mensal efetiva: a taxa anual efetiva i_{a} e a taxa mensal efetiva i_{m} estão relacionadas por
1+i_{a}=(1+i_{m})^{12}.
Isto porque capitalizar mensalmente por 12 períodos com i_{m} deve equivaler à capitalização anual de i_{a}. Assim
i_{m}=(1+i_{a})^{1/12}-1.
  • Montante acumulado de várias aplicações em momentos diferentes: cada aplicação X feita no mês t acumula até o mês 12 multiplicando-se por (1+i_{m})^{12-t}. Então o montante final é a soma desses montantes parciais.

Passo 3

Calcular a taxa mensal efetiva a partir da taxa anual 6{,}2\%.
  • Temos i_{a}=0{,}062.
  • A fórmula:
i_{m}=(1+0{,}062)^{1/12}-1.
  • Vamos aproximar numericamente. Primeiro calculemos (1{,}062)^{1/12}. Usando expansão exponencial/ln obtemos
(1{,}062)^{1/12}\approx 1{,}0050264025.
  • Portanto
i_{m}\approx 1{,}0050264025-1 = 0{,}0050264025.
  • Em porcentagem por mês isso dá aproximadamente 0{,}50264\% ao mês. Vou usar a forma decimal i_{m}\approx 0{,}0050264 nas contas.

Passo 4

Determinar quanto cada aplicação X vira ao final do mês 12 (fator de acumulação de cada uma).
  • Aplicação 1: feita no mês 3. Ela permanece investida por 12-3=9 meses, logo acumula para o final do ano por um fator (1+i_{m})^{9}.
  • Aplicação 2: feita no mês 4. Ela permanece 12-4=8 meses, fator (1+i_{m})^{8}.
  • Aplicação 3: feita no mês 12. Ela fica 0 meses aplicada até o final do mês 12, fator 1.
  • Assim, o montante total no mês 12 é
X(1+i_{m})^{9} + X(1+i_{m})^{8} + X.

Passo 5

Montar a equação que garante o montante final de \mathrm{R}\$\,15.000,00 e resolvê-la simbolicamente.
  • A equação é
X\bigl((1+i_{m})^{9} + (1+i_{m})^{8} + 1\bigr)=15000.
  • Logo
X=\frac{15000}{(1+i_{m})^{9} + (1+i_{m})^{8} + 1}.

Passo 6

Calcular numericamente os fatores e obter X.
  • Já temos i_{m}\approx 0{,}0050264025.
  • Calculemos (1+i_{m})^{8} e (1+i_{m})^{9}. Usando expansão exponencial (ou calculadora passo a passo):
(1+i_{m})^{8}\approx 1{,}0409187,
(1+i_{m})^{9}\approx 1{,}0461579.
  • Soma dos fatores:
(1+i_{m})^{9} + (1+i_{m})^{8} + 1 \approx 1{,}0461579 + 1{,}0409187 + 1 = 3{,}0870766.
  • Então
X \approx \frac{15000}{3{,}0870766}\approx 4858{,}86.
  • Ou seja, cada aplicação deve ser aproximadamente \mathrm{R}\$\,4.858{,}86.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
  • Se o investidor aplicar \mathrm{R}\$\,4.858{,}86 em cada um dos meses 3, 4 e 12, ao capitalizar à taxa mensal correspondente à taxa anual efetiva de 6{,}2\%, o montante acumulado no mês 12 será (aproximadamente) \mathrm{R}\$\,15.000,00.
  • Pequenas diferenças de arredondamento na taxa mensal ou nos fatores podem alterar alguns centavos; o valor apresentado está arredondado para os centavos (duas casas decimais), adequado para aplicações monetárias.

Resposta

\mathrm{R}\$\,4.858{,}86

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