Um investidor deseja ter
15.000,00
6,2 %$ ?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- Pedido: Encontrar o valor da aplicação única (mesmo valor em cada aplicação) que o investidor deve fazer, de modo que o montante acumulado ao final de um ano seja
. - Dados do enunciado:
- Montante desejado ao final de um ano:
. - Serão feitas 3 aplicações de igual valor, nos seguintes instantes (contando em meses a partir de agora): a primeira daqui a 3 meses, a segunda 1 mês depois da primeira (ou seja, aos 4 meses) e a terceira no último mês (ou seja, aos 12 meses).
- Taxa de juros: taxa anual efetiva de
, ou seja ao ano.
- Montante desejado ao final de um ano:
- Observação importante (tirada diretamente do enunciado): os prazos das aplicações vieram da leitura das posições “primeira daqui a três meses, a segunda um mês depois e a última apenas no último mês”, então usei os instantes
, e meses. - Objetivo operacional: calcular o valor
de cada aplicação tal que a soma dos valores acumulados dessas aplicações até o mês seja .
Passo 2
Conceitos usados (aulas rápidas e intuitivas).
- Juros compostos e fator de acumulação: se aplico uma quantia
por um certo número de períodos com taxa por período (efetiva), o montante ao final é , onde é o número de períodos de capitalização. Aqui usamos meses como período. - Conversão da taxa anual efetiva para taxa mensal efetiva: a taxa anual efetiva
e a taxa mensal efetiva estão relacionadas por
Isto porque capitalizar mensalmente por 12 períodos com
deve equivaler à capitalização anual de
. Assim
- Montante acumulado de várias aplicações em momentos diferentes: cada aplicação
feita no mês acumula até o mês multiplicando-se por . Então o montante final é a soma desses montantes parciais.
Passo 3
Calcular a taxa mensal efetiva a partir da taxa anual
.
- Temos
. - A fórmula:
- Vamos aproximar numericamente. Primeiro calculemos
. Usando expansão exponencial/ln obtemos
- Portanto
- Em porcentagem por mês isso dá aproximadamente
ao mês. Vou usar a forma decimal nas contas.
Passo 4
Determinar quanto cada aplicação
vira ao final do mês 12 (fator de acumulação de cada uma).
- Aplicação 1: feita no mês
. Ela permanece investida por meses, logo acumula para o final do ano por um fator . - Aplicação 2: feita no mês
. Ela permanece meses, fator . - Aplicação 3: feita no mês
. Ela fica 0 meses aplicada até o final do mês 12, fator . - Assim, o montante total no mês 12 é
Passo 5
Montar a equação que garante o montante final de
e resolvê-la simbolicamente.
- A equação é
- Logo
Passo 6
Calcular numericamente os fatores e obter
.
- Já temos
. - Calculemos
e . Usando expansão exponencial (ou calculadora passo a passo):
- Soma dos fatores:
- Então
- Ou seja, cada aplicação deve ser aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida.
- Se o investidor aplicar
em cada um dos meses , e , ao capitalizar à taxa mensal correspondente à taxa anual efetiva de , o montante acumulado no mês será (aproximadamente) . - Pequenas diferenças de arredondamento na taxa mensal ou nos fatores podem alterar alguns centavos; o valor apresentado está arredondado para os centavos (duas casas decimais), adequado para aplicações monetárias.