Considere o sólido limitado por x+y+z=3, x+y-z=1 \mathrm{e} os planos coordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo:
\int\left[\int\left[\int dx\right] dy\right] dz

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido delimitado pelas superfícies
x+y+z=3,\quad x+y-z=1
e pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0, usando a ordem de integração
\int\Bigl[\int\bigl[\int dx\bigr]dy\Bigr]dz.
O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla, e vamos precisar achar primeiro os limites de z, depois a região em xy para cada z, e por fim executar as integrais.

Passo 2

Para uma altura fixa z, a seção transversal no plano xy é o conjunto de (x,y) tais que x\ge0, y\ge0,
x+y+z\le3 \quad\Longrightarrow\quad x+y\le 3 - z,
x+y - z\ge1 \quad\Longrightarrow\quad x+y\ge z + 1.
Além disso, o sólido existe apenas enquanto z+1\le3-z, isto é z\le1, e sempre z\ge0. Logo
0\le z\le1,
e para cada z a região em xy é
\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z+1\le x+y\le 3-z\}.

Passo 3

O volume pode então ser escrito como
V =\int_{z=0}^{1} \Bigl(\iint_{\substack{x\ge0,y\ge0\z+1\le x+y\le3-z}}dx\,dy\Bigr)dz.
Reconhecemos que a integral dupla em xy é simplesmente a área da região entre as duas retas x+y=z+1 e x+y=3-z no primeiro quadrante. Cada triângulo x+y\le C tem área C^2/2. Assim, a área da faixa é
A(z) =\frac{(3-z)^2}{2}\;-\;\frac{(z+1)^2}{2} =\frac{1}{2}\bigl[(3-z)^2-(z+1)^2\bigr].

Passo 4

Expandindo e simplificando:
(3-z)^2=9-6z+z^2,\quad (z+1)^2=z^2+2z+1,
(3-z)^2-(z+1)^2=(9-6z+z^2)-(z^2+2z+1)=8-8z,
logo
A(z)=\frac{8-8z}{2}=4-4z.
Portanto
V=\int_{0}^{1}A(z)\,dz =\int_{0}^{1}(4-4z)\,dz.

Passo 5

Calculemos a integral em z:
\int_{0}^{1}(4-4z)\,dz =\bigl[4z-2z^2\bigr]_{0}^{1} =4-2=2.

Resposta

O volume do sólido vale 2.

Exercícios relacionados