Considere o sólido limitado por
os planos coordenados. Calcule o volume do sólido, fazendo:
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido delimitado pelas superfícies
e pelos planos coordenados
,
,
, usando a ordem de integração
O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla, e vamos precisar achar primeiro os limites de
, depois a região em
para cada
, e por fim executar as integrais.
Passo 2
Para uma altura fixa
, a seção transversal no plano
é o conjunto de
tais que
,
,
Além disso, o sólido existe apenas enquanto
, isto é
, e sempre
. Logo
e para cada
a região em
é
Passo 3
O volume pode então ser escrito como
Reconhecemos que a integral dupla em
é simplesmente a área da região entre as duas retas
e
no primeiro quadrante. Cada triângulo
tem área
. Assim, a área da faixa é
Passo 4
Expandindo e simplificando:
logo
Portanto
Passo 5
Calculemos a integral em
:
Resposta
O volume do sólido vale
.