Um investigador forense encontra um corpo em uma casa de campo, onde a temperatura ambiente (
) é mantida constante em
.
No momento da descoberta (
), a temperatura do corpo (
) era de
. Uma hora depois (
), a temperatura do corpo havia caído para
.
Supondo que a temperatura normal do corpo humano no momento da morte (
) seja
, e que a Lei de Resfriamento de Newton
governa o resfriamento do corpo (cuja solução geral é
:
(a) Determine o valor da constante de resfriamento
.
(b) Calcule o tempo decorrido desde o momento da morte (
) até o momento da descoberta (
).
(c) Converta o resultado para horas e minutos.
Supondo que a temperatura normal do corpo humano no momento da morte (
(a) Determine o valor da constante de resfriamento
(b) Calcule o tempo decorrido desde o momento da morte (
(c) Converta o resultado para horas e minutos.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo.
Dados:
- Temperatura ambiente:
. - Temperatura normal do corpo (no momento da morte,
): . - No momento da descoberta,
, a temperatura do corpo era . - Uma hora depois da descoberta,
, a temperatura do corpo era . - A Lei de Resfriamento de Newton é dada pela equação solução
onde
é a constante de resfriamento (em
).
Perguntas:
(a) Determinar (em
).
(b) Calcular o tempo decorrido desde a morte ( ) até a descoberta (
).
(c) Converter o resultado do item (b) para horas e minutos (e, se desejar, segundos).
(a) Determinar
(b) Calcular o tempo decorrido desde a morte (
(c) Converter o resultado do item (b) para horas e minutos (e, se desejar, segundos).
Passo 2
Entendendo a equação e montando as equações com os dados: aplicando a fórmula em
e em
obtemos duas equações.
Para
:
Para
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: temperatura do corpo no tempo (horas após a morte), -
: temperatura ambiente, -
: temperatura inicial do corpo (ao morrer), -
: constante de resfriamento que queremos descobrir, -
: tempo desde a morte até a descoberta (que também queremos).
Passo 3
Eliminar a incógnita
dividindo a segunda equação pela primeira. Subtraindo
de ambas as equações primeiro:
Ou seja,
Dividindo a segunda pela primeira cancela
:
Simplificando a fração:
Agora tomamos logaritmo natural em ambos os lados para achar
:
Calculando numericamente:
Passo 4
Agora determinamos
usando a equação para
:
Calcule
:
Logo
Tomando ln:
Substituindo o valor de
:
Passo 5
Converter
em horas e minutos (e segundos):
- A parte inteira já são
horas. - A parte fracionária é
hora. Converter para minutos:
- A parte inteira dos minutos são
minutos. - A fração de minuto
multiplicada por dá os segundos:
Arredondando de forma prática,
horas,
minutos e
segundos. Podemos também apresentar apenas em horas e minutos arredondando o minuto: cerca de
horas e
minutos.
Resposta
(a)
(b)
(c) (aprox.; equivalente a cerca de
h
min)
(b)
(c)