Um investigador forense encontra um corpo em uma casa de campo, onde a temperatura ambiente ( T_{a} ) é mantida constante em 68^{\circ} \mathrm{F}.
No momento da descoberta ( t=t_{d} ), a temperatura do corpo ( T ) era de 86^{\circ} \mathrm{F}. Uma hora depois ( t=t_{d}+1 ), a temperatura do corpo havia caído para 82^{\circ} \mathrm{F}.
Supondo que a temperatura normal do corpo humano no momento da morte ( T_{0} ) seja 98,6^{\circ} \mathrm{F}, e que a Lei de Resfriamento de Newton \left(\frac{d T}{d t}=-k\left(T-T_{a}\right)\right) governa o resfriamento do corpo (cuja solução geral é \left.T(t)=T_{a}+\left(T_{0}-T_{a}\right) e^{-k t}\right) :
(a) Determine o valor da constante de resfriamento k\left(\mathrm{em} \mathrm{h}^{-1}\right).
(b) Calcule o tempo decorrido desde o momento da morte ( t=0 ) até o momento da descoberta ( t_{d} ).
(c) Converta o resultado para horas e minutos.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo.
Dados:
  • Temperatura ambiente: T_{a}=68^\circ\mathrm{F}.
  • Temperatura normal do corpo (no momento da morte, t=0): T_{0}=98{,}6^\circ\mathrm{F}.
  • No momento da descoberta, t=t_{d}, a temperatura do corpo era T(t_{d})=86^\circ\mathrm{F}.
  • Uma hora depois da descoberta, t=t_{d}+1, a temperatura do corpo era T(t_{d}+1)=82^\circ\mathrm{F}.
  • A Lei de Resfriamento de Newton é dada pela equação solução
T(t)=T_{a}+\bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t},
onde k é a constante de resfriamento (em \mathrm{h}^{-1}).
Perguntas:
(a) Determinar k (em \mathrm{h}^{-1}).
(b) Calcular o tempo decorrido desde a morte ( t=0) até a descoberta ( t=t_{d}).
(c) Converter o resultado do item (b) para horas e minutos (e, se desejar, segundos).

Passo 2

Entendendo a equação e montando as equações com os dados: aplicando a fórmula em t=t_{d} e em t=t_{d}+1 obtemos duas equações.
Para t=t_{d}:
86 = T_{a}+\bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t_{d}}.
Para t=t_{d}+1:
82 = T_{a}+\bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k (t_{d}+1)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • T(t): temperatura do corpo no tempo t (horas após a morte),
  • T_{a}: temperatura ambiente,
  • T_{0}: temperatura inicial do corpo (ao morrer),
  • k: constante de resfriamento que queremos descobrir,
  • t_{d}: tempo desde a morte até a descoberta (que também queremos).

Passo 3

Eliminar a incógnita \bigl(T_{0}-T_{a}\bigr) dividindo a segunda equação pela primeira. Subtraindo T_{a} de ambas as equações primeiro:
86-68 = \bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t_{d}},
82-68 = \bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k (t_{d}+1)}.
Ou seja,
18 = \bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t_{d}},
14 = \bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t_{d}}e^{-k}.
Dividindo a segunda pela primeira cancela \bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t_{d}}:
\frac{14}{18}=e^{-k}.
Simplificando a fração:
e^{-k}=\frac{7}{9}.
Agora tomamos logaritmo natural em ambos os lados para achar k:
-k=\ln\!\left(\frac{7}{9}\right)\quad\Rightarrow\quad k=-\ln\!\left(\frac{7}{9}\right)=\ln\!\left(\frac{9}{7}\right).
Calculando numericamente:
k=\ln\!\left(\frac{9}{7}\right)\approx 0{,}2513145\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 4

Agora determinamos t_{d} usando a equação para t=t_{d}:
18=\bigl(T_{0}-T_{a}\bigr)e^{-k t_{d}}.
Calcule \bigl(T_{0}-T_{a}\bigr):
T_{0}-T_{a}=98{,}6-68=30{,}6.
Logo
e^{-k t_{d}}=\frac{18}{30{,}6}=\frac{10}{17}.
Tomando ln:
-k t_{d}=\ln\!\left(\frac{10}{17}\right)\quad\Rightarrow\quad t_{d}=-\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{10}{17}\right)=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{17}{10}\right).
Substituindo o valor de k:
t_{d}=\frac{\ln\!\left(\frac{17}{10}\right)}{\ln\!\left(\frac{9}{7}\right)}\approx\frac{0{,}5306283}{0{,}2513145}\approx 2{,}110386\\ \mathrm{h}.

Passo 5

Converter t_{d} em horas e minutos (e segundos):
  • A parte inteira já são 2 horas.
  • A parte fracionária é 0{,}110386 hora. Converter para minutos:
0{,}110386\times 60 \approx 6{,}62316\\ \text{minutos}.
  • A parte inteira dos minutos são 6 minutos.
  • A fração de minuto 0{,}62316 multiplicada por 60 dá os segundos:
0{,}62316\times 60 \approx 37{,}39\\ \text{segundos}.
Arredondando de forma prática, t_{d}\approx 2 horas, 6 minutos e 37 segundos. Podemos também apresentar apenas em horas e minutos arredondando o minuto: cerca de 2 horas e 7 minutos.

Resposta

(a) k=\ln\!\left(\dfrac{9}{7}\right)\approx 0{,}2513\\ \mathrm{h}^{-1}
(b) t_{d}\approx 2{,}1104\\ \mathrm{h}
(c) t_{d}\approx 2\\ \mathrm{h}\\\ 6\\ \mathrm{min}\\\ 37\\ \mathrm{s} (aprox.; equivalente a cerca de 2 h 7 min)

Exercícios relacionados