Determine a solução geral das equações de recorrência a seguir:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=1+3 \cdot 4^{n}.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência linear de segunda ordem não homogênea
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_{n}=1+3\cdot 4^{n},
e pede a solução geral x_{n} (isto é, resolver para x_{n} para n inteiro, encontrando os parâmetros livres que aparecem na solução).
Informações relevantes fornecidas: o lado esquerdo é uma combinação linear de x_{n+2},x_{n+1},x_n com coeficientes constantes; o lado direito é uma soma de duas funções explícitas de n: uma constante 1 e uma exponencial 3\cdot 4^{n}.

Passo 2

Qual método vamos usar (explicando rapidinho por que): para equações de recorrência lineares com coeficientes constantes como esta, o procedimento padrão é decompor a solução em duas partes:
  1. solução geral da recorrência homogênea associada (quando o lado direito é zero), e
  2. uma solução particular da recorrência completa (onde tratamos o lado direito).
    Depois somamos as duas partes. Esse método é o análogo discreto do que se faz em EDOs lineares e chama-se “método dos coeficientes a determinar” para a parte particular. Vou aplicar esse método passo a passo.

Passo 3

Resolver a parte homogênea. Considere a recorrência homogênea
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_{n}=0.
Procuramos soluções da forma x_n = r^n. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{2}-5r+6=0.
Resolvendo esse quadrático:
r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=3, distintas. Quando as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear
x_n^{(h)}=A\cdot 2^{n}+B\cdot 3^{n},
onde A e B são constantes arbitrárias (a serem ajustadas por condições iniciais, se houvesse).

Passo 4

Explicando como achar uma solução particular (ideia do método dos coeficientes a determinar): como o lado direito é soma de termos simples ( 1 e 3\cdot 4^{n}), procuramos uma solução particular como soma das soluções particulares correspondentes a cada termo. Para cada termo do lado direito escolhemos um “palpite” (ansatz) do tipo similar ao termo à direita, multiplicado por um polinómio em n se houver ressonância (ou seja, se a base do termo à direita for raiz do polinômio característico). Aqui as bases são 1 e 4. Como 1 e 4 não são raízes do polinômio característico (as raízes foram 2,3), não precisamos multiplicar por n. Assim tentaremos:
  • para o termo constante 1: um palpite constante C;
  • para o termo 3\cdot 4^{n}: um palpite da forma D\cdot 4^{n}.
    Vou calcular cada um em sequência.

Passo 5

Particular para o termo constante 1. Suponha x_n^{(p1)}=C (constante). Substituindo na recorrência:
C -5C +6C = 1.
Calcule o coeficiente: C(1-5+6)=C\cdot 2. Portanto
2C = 1 \quad\Rightarrow\quad C=\tfrac{1}{2}.
Logo uma solução particular para o termo constante é
x_n^{(p1)}=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Particular para o termo 3\cdot 4^{n}. Suponha x_n^{(p2)}=D\cdot 4^{n}. Substituindo na recorrência:
D\cdot 4^{n+2}-5D\cdot 4^{n+1}+6D\cdot 4^{n}=3\cdot 4^{n}.
Colocando 4^{n} em evidência:
D\cdot 4^{n}\bigl(4^{2}-5\cdot 4+6\bigr)=3\cdot 4^{n}.
Calcule o parêntese: 4^{2}-5\cdot 4+6=16-20+6=2. Logo
D\cdot 4^{n}\cdot 2 = 3\cdot 4^{n} \quad\Rightarrow\quad 2D=3 \quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{3}{2}.
Portanto uma solução particular para esse termo é
x_n^{(p2)}=\tfrac{3}{2}\cdot 4^{n}.

Passo 7

Combinar as soluções particulares e a solução homogênea. A solução particular total é soma das duas:
x_n^{(p)}=x_n^{(p1)}+x_n^{(p2)}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}\cdot 4^{n}.
A solução geral da recorrência é a soma da homogênea com a particular:
x_{n}=x_n^{(h)}+x_n^{(p)}=A\cdot 2^{n}+B\cdot 3^{n}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}\cdot 4^{n},
onde A e B são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se forem dadas). Pronto — essa é a solução geral.

Resposta

x_{n}=A\cdot 2^{n}+B\cdot 3^{n}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}\cdot 4^{n}

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