Determine a solução geral das equações de recorrência a seguir:
.
Passo 1
O enunciado dá a recorrência linear de segunda ordem não homogênea
e pede a solução geral
(isto é, resolver para
para
inteiro, encontrando os parâmetros livres que aparecem na solução).
Informações relevantes fornecidas: o lado esquerdo é uma combinação linear de com coeficientes constantes; o lado direito é uma soma de duas funções explícitas de
: uma constante
e uma exponencial
.
Informações relevantes fornecidas: o lado esquerdo é uma combinação linear de
Passo 2
Qual método vamos usar (explicando rapidinho por que): para equações de recorrência lineares com coeficientes constantes como esta, o procedimento padrão é decompor a solução em duas partes:
- solução geral da recorrência homogênea associada (quando o lado direito é zero), e
- uma solução particular da recorrência completa (onde tratamos o lado direito).
Depois somamos as duas partes. Esse método é o análogo discreto do que se faz em EDOs lineares e chama-se “método dos coeficientes a determinar” para a parte particular. Vou aplicar esse método passo a passo.
Passo 3
Resolver a parte homogênea. Considere a recorrência homogênea
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos o polinômio característico
Resolvendo esse quadrático:
portanto as raízes são
e
, distintas. Quando as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear
onde
e
são constantes arbitrárias (a serem ajustadas por condições iniciais, se houvesse).
Passo 4
Explicando como achar uma solução particular (ideia do método dos coeficientes a determinar): como o lado direito é soma de termos simples (
e
), procuramos uma solução particular como soma das soluções particulares correspondentes a cada termo. Para cada termo do lado direito escolhemos um “palpite” (ansatz) do tipo similar ao termo à direita, multiplicado por um polinómio em
se houver ressonância (ou seja, se a base do termo à direita for raiz do polinômio característico). Aqui as bases são
e
. Como
e
não são raízes do polinômio característico (as raízes foram
), não precisamos multiplicar por
. Assim tentaremos:
- para o termo constante
: um palpite constante ; - para o termo
: um palpite da forma .
Vou calcular cada um em sequência.
Passo 5
Particular para o termo constante
. Suponha
(constante). Substituindo na recorrência:
Calcule o coeficiente:
. Portanto
Logo uma solução particular para o termo constante é
Passo 6
Particular para o termo
. Suponha
. Substituindo na recorrência:
Colocando
em evidência:
Calcule o parêntese:
. Logo
Portanto uma solução particular para esse termo é
Passo 7
Combinar as soluções particulares e a solução homogênea. A solução particular total é soma das duas:
A solução geral da recorrência é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se forem dadas). Pronto — essa é a solução geral.