Para investigar a composição química e nutricional da alimentação oferecida em um restaurante universitário, foram coletadas amostras das refeições durante cinco dias consecutivos (Fausto e colaboradores, 2001). Para que as amostras correspondessem ao total de alimentos habitualmente porcionados pelos funcionários do restaurante, elas foram coletadas no utensílio próprio utilizado no local (bandejão), durante o horário de funcionamento do restaurante (almoço e jantar). Para evitar modificações nos cardápios ou nas quantidades de alimentos porcionados, os funcionários do local não foram informados a respeito da pesquisa.
A Tabela a seguir apresenta a composição química das refeições (almoço ou jantar) oferecidas no Restaurante Universitário, em g/100 g da refeição. No entanto, algumas informações foram perdidas. Estas informações perdidas estão indicadas na Tabela com um ponto de interrogação (?).
Cardápio
Composição química(1) 1 2 3 4 5 média dp
Proteínas 4,6 5,0 4,9 5,2 4,0 4,74
Lipídeos 7,9 12,5 9,5 14,2 10,84 2,50
Carboidratos 26,6 27,4 28,0 22,8 24,32
(1) da refeç̧ão. (2) dp desvio padrão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa completar uma tabela que mostra a composição química das refeições de um restaurante universitário. A tabela tem informações sobre proteínas, lipídeos e carboidratos das refeições, mas faltam alguns valores, indicados por “?”. Vamos usar conceitos de média e desvio padrão para encontrar esses valores faltantes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o desvio padrão das proteínas, que está marcado como ?(a). O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Para calcular, usamos a fórmula:
sigma = raiz1N sumi=1^N (xi - mu)^2
Onde:
  • sigma é o desvio padrão,
  • N é o número de observações,
  • xi são os valores individuais,
  • mu é a média.
Vamos aplicar isso para as proteínas.

Passo 3

Primeiro, calculamos a diferença de cada valor em relação à média e depois elevamos ao quadrado:
  • (4,6 - 4,74)^2 = ( -0,14 )^2 = 0,0196
  • (5,0 - 4,74)^2 = ( 0,26 )^2 = 0,0676
  • (4,9 - 4,74)^2 = ( 0,16 )^2 = 0,0256
  • (5,2 - 4,74)^2 = ( 0,46 )^2 = 0,2116
  • (4,0 - 4,74)^2 = ( -0,74 )^2 = 0,5476

Passo 4

Agora, somamos esses valores:
0,0196 + 0,0676 + 0,0256 + 0,2116 + 0,5476 = 0,872
Em seguida, dividimos pela quantidade de observações (5):
0,8725 = 0,1744
Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar o desvio padrão:
sigma = raiz0,1744 approx 0,4175

Passo 5

Então, o desvio padrão das proteínas é aproximadamente 0,4175 g/100g da refeição.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor faltante dos lipídeos, indicado como ?(b). Sabemos que a média dos lipídeos é 10,84 g/100g. Temos os seguintes valores: 7,9; 12,5; 9,5; ?; 14,2.
Vamos usar a fórmula da média:
mu = sumi=1^N xiN

Passo 7

Sabendo que a média ( mu) é 10,84 e N = 5, podemos montar a equação:
10,84 = 7,9 + 12,5 + 9,5 + ? + 14,25
Multiplicando ambos os lados por 5:
54,2 = 7,9 + 12,5 + 9,5 + ? + 14,2

Passo 8

Vamos somar os valores conhecidos:
7,9 + 12,5 = 20,4
20,4 + 9,5 = 29,9
29,9 + 14,2 = 44,1
Então:
54,2 = 44,1 + ?
Subtraindo 44,1 de ambos os lados:
? = 54,2 - 44,1 = 10,1

Passo 9

O valor faltante dos lipídeos é 10,1 g/100g da refeição.

Passo 10

Agora, vamos descobrir o valor faltante dos carboidratos, marcado como ?(c). A média dos carboidratos é 24,32 g/100g. Os valores que temos são: 26,6; 27,4; 28,0; 22,8; ?.
Usamos novamente a fórmula da média:
mu = sumi=1^N xiN

Passo 11

Substituindo os valores:
24,32 = 26,6 + 27,4 + 28,0 + 22,8 + ?5
Multiplicando ambos os lados por 5:
121,6 = 26,6 + 27,4 + 28,0 + 22,8 + ?

Passo 12

Somando os valores conhecidos:
26,6 + 27,4 = 54,0
54,0 + 28,0 = 82,0
82,0 + 22,8 = 104,8
Então:
121,6 = 104,8 + ?
Subtraindo 104,8 de ambos os lados:
? = 121,6 - 104,8 = 16,8

Passo 13

O valor faltante dos carboidratos é 16,8 g/100g da refeição.

Passo 14

Por fim, vamos calcular o desvio padrão dos carboidratos, indicado como ?(d). Agora que temos todos os valores: 26,6; 27,4; 28,0; 22,8; 16,8 e a média é 24,32.
Usamos a mesma fórmula do desvio padrão:
sigma = raiz1N sumi=1^N (xi - mu)^2

Passo 15

Calculando as diferenças ao quadrado:
  • (26,6 - 24,32)^2 = (2,28)^2 = 5,1984
  • (27,4 - 24,32)^2 = (3,08)^2 = 9,4864
  • (28,0 - 24,32)^2 = (3,68)^2 = 13,5424
  • (22,8 - 24,32)^2 = (-1,52)^2 = 2,3104
  • (16,8 - 24,32)^2 = (-7,52)^2 = 56,5504

Passo 16

Somando esses valores:
5,1984 + 9,4864 + 13,5424 + 2,3104 + 56,5504 = 86,08799999999999
Dividindo pela quantidade de observações (5):
86,0885 = 17,2176
Tirando a raiz quadrada:
sigma = raiz17,2176 approx 4,149

Resposta

O desvio padrão dos carboidratos é aproximadamente 4,15 g/100g da refeição.

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