As notas finais de estatística para alunos de um curso de Administração foram as seguintes:
Empresa No Funcionário
1 1
2 0
3 0
4 3
5 0
6 1
7 1
8 2
9 2
10 2
11 0
12 2
13 0
14 2
15 0
16 1
17 1
18 2
19 3
20 2
Tabela 1: Tabela do exercício 5.
(a) Determine a mediana e a média;
(b) Separe o conjunto de dados em dois grupos denominados aprovados, com nota pelo menos igual a 5 , e reprovados para os demais. Compare a variância desses dois grupos.

Passo 1

O enunciado fornece 27 notas de estatística:
7,5,4,5,6,3,8,4,5,4,5,4,6,4,5,6,4,6,6,3,8,4,5,4,5,5,6
e pede (a) a mediana e a média aritmética, e (b) a separação em dois grupos (aprovados com nota >=5 e reprovados com nota <=4) para comparar as variâncias. Vamos usar conceitos de medidas de posição (mediana e média) e de dispersão (variância populacional).

Passo 2

Para achar a mediana, primeiro ordenamos os 27 valores em ordem crescente. Contando frequências temos:
underbrace3,32,;underbrace4,dots,48,;underbrace5,dots,58,;underbrace6,dots,66,;7,;underbrace8,82
Como n=27, a posição da mediana é n+12=282=14. O 14º valor na sequência ordenada é 5. Logo,
mediana = 5

Passo 3

A média aritmética é
bar x = 1nsumi=1^n xi
Somando as notas temos
sum xi = 3cdot2 + 4cdot8 + 5cdot8 + 6cdot6 + 7cdot1 + 8cdot2 = 137,
logo
bar x = 13727 approx 5,07

Passo 4

Agora separamos os grupos:
– Reprovados ( x<=4): 2 notas 3 e 8 notas 4. Total de 10 observações, soma sum x = 3cdot2 + 4cdot8 = 38, média muR = 38/10 = 3,8.
– Aprovados ( x>=5): 8 notas 5, 6 notas 6, 1 nota 7 e 2 notas 8. Total de 17 observações, soma sum x = 137 - 38 = 99, média muA = 99/17 approx 5,8235.
Para calcular a variância populacional usamos
sigma^2 = E[x^2] - mu^2,
com E[x^2]=1nsum xi^2.

Passo 5

Calculamos sum xi^2 em cada grupo:
– Reprovados:
sum xi^2 = 3^2cdot2 + 4^2cdot8 = 18 + 128 = 146,
E[x^2]R = 14610 = 14,6, sigma^2R = 14,6 - (3,8)^2 = 14,6 - 14,44 = 0,16
– Aprovados:
sum xi^2 = 5^2cdot8 + 6^2cdot6 + 7^2cdot1 + 8^2cdot2 = 200 + 216 + 49 + 128 = 593,
E[x^2]A = 59317, sigma^2A = 59317 - l(9917r)^2 = 280289approx0,97
Comparando, vemos que sigma^2Aapprox0,97 é bem maior que sigma^2R=0,16.

Resposta

Mediana =5
Média approx5,07
Variância dos reprovados approx0,16
Variância dos aprovados approx0,97
O grupo de aprovados apresenta maior dispersão (variância superior).

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