A tabela abaixo mostra a distribuição de frequências da variável idade.
Grupo etário (anos)
Freqüência absoluta
Freqüência relativa
1
1,5%
7
10,3%
9
13,2%
20
29,4%
13
19,1%
13
19,1%
4
5,9%
1
1,5%
(a) A mediana da variável idade pertence a qual grupo etário?
(b) Construa o histograma para a variável idade.
(c) Encontre a mediana para a variável idade.
(d) Encontre a média para a variável idade.
Grupo etário (anos) | Freqüência absoluta | Freqüência relativa |
|
1 | 1,5% |
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7 | 10,3% |
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9 | 13,2% |
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20 | 29,4% |
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13 | 19,1% |
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13 | 19,1% |
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4 | 5,9% |
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1 | 1,5% |
(b) Construa o histograma para a variável idade.
(c) Encontre a mediana para a variável idade.
(d) Encontre a média para a variável idade.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que a gente tem aqui envolve uma tabela que mostra como as idades estão distribuídas em diferentes grupos etários. A gente vai precisar entender sobre medidas de tendência central, como mediana e média, além de saber como construir um histograma. Vamos resolver as partes (a) até (d) passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a mediana. A mediana é o valor que está no meio de um conjunto de dados quando eles estão ordenados. No nosso caso, queremos descobrir em qual grupo etário está a mediana.
Passo 3
Para encontrar a mediana, precisamos saber o total de observações. Vamos somar todas as frequências absolutas:
1 + 7 + 9 + 20 + 13 + 13 + 4 + 1 = 68
1 + 7 + 9 + 20 + 13 + 13 + 4 + 1 = 68
Passo 4
Agora, a posição da mediana é dada por:
Isso significa que a mediana está entre a 34ª e a 35ª observação.
Passo 5
Vamos acumular as frequências para ver em qual grupo etário a posição 34,5 cai:
- 10-20: 1 (Total acumulado: 1)
- 20-30: 7 (Total acumulado: 8)
- 30-40: 9 (Total acumulado: 17)
- 40-50: 20 (Total acumulado: 37)
Observamos que a posição 34,5 está no grupo 40-50 anos, porque até esse ponto acumulamos 37 observações.
Passo 6
Então, a mediana da variável idade pertence ao grupo etário de 40 a 50 anos.
Passo 7
Para construir o histograma, vamos precisar das classes de idade e suas respectivas frequências absolutas. O histograma é um gráfico de barras que mostra a distribuição das frequências.
Passo 8
Vamos plotar o histograma com os grupos etários no eixo X e as frequências absolutas no eixo Y. Cada barra representará a quantidade de pessoas em cada grupo.
Passo 9
Agora, para encontrar a mediana exata, podemos usar a fórmula da mediana para dados agrupados:
Onde:
-
= limite inferior da classe mediana -
= número total de observações -
= frequência acumulada antes da classe mediana -
= frequência da classe mediana -
= amplitude da classe
Passo 10
Aplicando os valores:
-
(limite inferior do grupo 40-50) -
-
(frequência acumulada antes do grupo 40-50) -
(frequência do grupo 40-50) -
(amplitude da classe)
Substituindo na fórmula:
Passo 11
Por fim, para encontrar a média, usamos a fórmula:
Onde
é o ponto médio de cada classe.
Passo 12
Calculando os pontos médios:
- 10-20: 15
- 20-30: 25
- 30-40: 35
- 40-50: 45
- 50-60: 55
- 60-70: 65
- 70-80: 75
- 80-90: 85
Passo 13
Multiplicando cada ponto médio pela frequência:
- 15 × 1 = 15
- 25 × 7 = 175
- 35 × 9 = 315
- 45 × 20 = 900
- 55 × 13 = 715
- 65 × 13 = 845
- 75 × 4 = 300
- 85 × 1 = 85
Somando todos: 15 + 175 + 315 + 900 + 715 + 845 + 300 + 85 = 3.350
Passo 14
Agora, calculamos a média:
Resposta
(a) A mediana pertence ao grupo etário de 40 a 50 anos.
(b) [Histograma construído conforme os grupos e frequências fornecidos.]
(c) A mediana é aproximadamente 48,5 anos.
(d) A média das idades é aproximadamente 49,26 anos.
(b) [Histograma construído conforme os grupos e frequências fornecidos.]
(c) A mediana é aproximadamente 48,5 anos.
(d) A média das idades é aproximadamente 49,26 anos.