Investigar as integrais impróprias:
Passo 1
O enunciado pede para investigar a impropriedade e, se convergir, calcular
O conteúdo que usamos aqui é o de integrais impróprias de segunda espécie (quando o integrando fica infinito numa das extremidades) e a técnica de substituição trigonométrica para integrar funções do tipo
.
Passo 2
Identificamos que a impropriedade ocorre em
, pois aí
e o integrando explode. Então reescrevemos
Passo 3
Para integrar
, usamos a substituição trigonométrica
com
. Então
e o integrando vira
Passo 4
Precisamos converter os limites de
em
:
quando ,
dá
;
quando ,
dá
.
Logo
quando
quando
Logo
Passo 5
Voltando ao limite, temos
Portanto a integral impropria converge.