Investigar as integrais impróprias:
\int_{0}^{3} \frac{d x}{\sqrt{9-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a impropriedade e, se convergir, calcular
\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}}.
O conteúdo que usamos aqui é o de integrais impróprias de segunda espécie (quando o integrando fica infinito numa das extremidades) e a técnica de substituição trigonométrica para integrar funções do tipo 1/\sqrt{a^{2}-x^{2}}.

Passo 2

Identificamos que a impropriedade ocorre em x=3, pois aí \sqrt{9 - x^{2}}=0 e o integrando explode. Então reescrevemos
\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}} \;=\; \lim_{b\to 3^-}\int_{0}^{b}\frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}}.

Passo 3

Para integrar \int \!dx/\sqrt{9 - x^{2}}, usamos a substituição trigonométrica
x = 3\sin\theta, \quad dx = 3\cos\theta\,d\theta,
com \theta\in[\,0,\pi/2). Então
\sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{9 - 9\sin^{2}\theta} = 3\cos\theta,
e o integrando vira
\frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \frac{3\cos\theta\,d\theta}{3\cos\theta} = d\theta.

Passo 4

Precisamos converter os limites de x em \theta:
quando x=0, \sin\theta=0 \theta=0;
quando x=b, \sin\theta=b/3 \theta=\arcsin(b/3).
Logo
\int_{0}^{b}\frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \int_{0}^{\arcsin(b/3)} d\theta = \arcsin\bigl(b/3\bigr).

Passo 5

Voltando ao limite, temos
\lim_{b\to 3^-}\arcsin\bigl(b/3\bigr) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}.
Portanto a integral impropria converge.

Resposta

\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \frac{\pi}{2}.

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