Determinar os seguintes limites, baseando-se pelos limites fundamentais:
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{2 n+1}{2 n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{n\to+\infty}\Bigl(\frac{2n+1}{2n}\Bigr)^{n}.
O conteúdo usado será o limite fundamental \lim_{m\to\infty}\bigl(1+\frac{1}{m}\bigr)^{m}=e
e sua generalização para expoentes proporcionais.

Passo 2

Reescrevemos o termo dentro da potência como
\frac{2n+1}{2n} =1+\frac{1}{2n}.
Logo a expressão original é
\Bigl(1+\frac{1}{2n}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Recordando que
\lim_{m\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{m}\Bigr)^{m}=e,
podemos tomar m=2n. Assim
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{2n}\Bigr)^{2n}=e.
Como queremos \bigl(1+\tfrac{1}{2n}\bigr)^{n}, note que
\Bigl(1+\tfrac{1}{2n}\Bigr)^{n} =\Bigl[\Bigl(1+\tfrac{1}{2n}\Bigr)^{2n}\Bigr]^{1/2}
e, ao passar ao limite, fica
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{2n}\Bigr)^{n} =\bigl(\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{2n}\bigr)^{2n}\bigr)^{1/2} =e^{1/2}.

Resposta

\sqrt{e}

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