Investigue a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
(e)
.
(e)
Passo 1
A integral em questão é
Precisamos investigar a convergência dessa integral imprópria no intervalo
e, se convergir, calcular seu valor. O conteúdo principal envolve critérios de convergência de integrais impróprias e a técnica de substituição para integrá-la.
Passo 2
Para analisar o comportamento em
, note que
tende a 1 quando
, então o integrando se comporta como
. Como
a parte de
a
é convergente.
Passo 3
Para o comportamento em
, o fator
decai rapidíssimo (mais rápido que qualquer potência de
). Logo, a integral
é convergente por comparação com qualquer integral do tipo
, que já sabemos converge. Portanto, a integral total converge.
Passo 4
Agora que sabemos que converge, vamos calcular o valor usando substituição. Seja
Então
Resposta
A integral converge e seu valor é
.