Investigue a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
(e) integral0^infty x^3 e^-x^4 d x.

Passo 1

A integral em questão é
integral0^infty x^3 e^-x^4 ,dx
Precisamos investigar a convergência dessa integral imprópria no intervalo [0,infty) e, se convergir, calcular seu valor. O conteúdo principal envolve critérios de convergência de integrais impróprias e a técnica de substituição para integrá-la.

Passo 2

Para analisar o comportamento em x=0, note que e^-x^4 tende a 1 quando xto0, então o integrando se comporta como x^3. Como
integral0^1 x^3 ,dx = [x^44]0^1 = 14 < infty,
a parte de 0 a 1 é convergente.

Passo 3

Para o comportamento em xtoinfty, o fator e^-x^4 decai rapidíssimo (mais rápido que qualquer potência de x). Logo, a integral
integral1^infty x^3 e^-x^4 ,dx
é convergente por comparação com qualquer integral do tipo integral1^infty e^-x^2 x^3 ,dx, que já sabemos converge. Portanto, a integral total converge.

Passo 4

Agora que sabemos que converge, vamos calcular o valor usando substituição. Seja
t = x^4, dt = 4x^3 ,dx implies x^3 ,dx = dt4
Então
integral0^infty x^3 e^-x^4 ,dx = integral0^infty e^-t dt4 = 14 integral0^infty e^-t ,dt = 14 cdot 1 = 14

Resposta

A integral converge e seu valor é tfrac14.

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