Investigue a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:
(e) 
 .
(e)
Passo 1
A integral em questão é
Precisamos investigar a convergência dessa integral imprópria no intervalo 
  e, se convergir, calcular seu valor. O conteúdo principal envolve critérios de convergência de integrais impróprias e a técnica de substituição para integrá-la.
Passo 2
Para analisar o comportamento em 
 , note que 
  tende a 1 quando 
 , então o integrando se comporta como 
 . Como
a parte de 
  a 
  é convergente.
Passo 3
Para o comportamento em 
 , o fator 
  decai rapidíssimo (mais rápido que qualquer potência de 
 ). Logo, a integral
é convergente por comparação com qualquer integral do tipo 
 , que já sabemos converge. Portanto, a integral total converge.
Passo 4
Agora que sabemos que converge, vamos calcular o valor usando substituição. Seja
Então
Resposta
A integral converge e seu valor é 
 .