Calcule a integral de linha
integralgamma F cdot d r
onde F: R^2 R^2 é o campo vetorial dado por
F=(y e^x y+2 x y) i+(x e^x y+x^2) j
e gamma é o trecho da parábola y=2 x^2 ligando os pontos (0,0) a (1,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgammavec Fcdot dvec r, onde o campo é vec F(x,y)=(y e^xy+2xy),vec i + (x e^xy+x^2),vec j e gamma é o trecho da parábola y=2x^2 de (0,0) a (1,2). O conteúdo principal é integral de linha de um campo vetorial e vamos usar o teste de conservatividade e encontrar a função potencial.

Passo 2

Para ver se vec F é conservativo, verificamos se partial P/partial y=partial Q/partial x. Com P=y e^xy+2xy e Q=x e^xy+x^2 temos
partial Ppartial y=x y e^xy+e^xy+2x,partial Qpartial x=x y e^xy+e^xy+2x
Como as duas derivadas parciais coincidem em toda R^2, o campo é conservativo e existe função potencial f(x,y) tal que nabla f=vec F.

Passo 3

Para achar f, integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral(y e^xy+2xy),dx=integral y e^xy,dx+integral2xy,dx=e^xy+x^2y+h(y), onde h(y) é função de y só.
Agora impomos partial f/partial y=Q. Da expressão acima
partial fpartial y=x e^xy+x^2+h'(y)overset!=x e^xy+x^2, logo h'(y)=0 e podemos tomar h(y) constante.

Passo 4

Pela fund. do cálculo para campos conservativos,
integralgammavec Fcdot dvec r=f(1,2)-f(0,0)

Passo 5

Substituindo a potencial f(x,y)=e^xy+x^2y obtemos
f(1,2)=e^2+2, f(0,0)=1+0=1

Passo 6

Portanto a integral vale $e^2+2-1.

Resposta

e^2 + 1

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