Considere a função
f(x)=1+5 x+x^2+5 x^3+x^4+5 x^5+x^6+5 x^7+ldots
Encontre o seu domínio, isto é, encontre o intervalo de convergência da série. Em seguida, encontre a soma da série.

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida pela série de potências
f(x)=1+5x+x^2+5x^3+x^4+5x^5+cdots
ou seja, os coeficientes são a2m=1 e a2m+1=5. Precisamos encontrar o domínio de convergência (intervalo de x) e a soma fechada da série. O conteúdo aqui é séries de potências, teste de convergência (root test) e soma de séries geométricas.

Passo 2

Aplicamos o root test. Para l|anx^nr| temos
l|anx^nr|^1/n=|an|^1/n,|x|xrightarrow[ntoinfty]1cdot|x|=|x|
Logo a série converge se e somente se |x|<1. Nos pontos |x|=1 ela não converge (em x=1 os somatórios de 1+5+1+5+cdots divergem e em x=-1 os somatórios de 1-5+1-5+cdots não têm limite). Portanto o intervalo de convergência é
-1<x<1

Passo 3

Para somar, separamos os termos de índice par e ímpar:
Ímpares ( k=2m+1):
summ=0^infty5x^2m+1 =5xsumm=0^infty(x^2)^m =5x1-x^2
Pares ( k=2m):
summ=0^inftyx^2m =summ=0^infty(x^2)^m =11-x^2
Somando os dois resultados:
f(x) =11-x^2+5x1-x^2 =1+5x1-x^2, |x|<1

Resposta

Domínio de convergência: -1<x<1.
Soma da série:
f(x)=1+5x1-x^2, |x|<1

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