Resolva.
(a) Encontre a representação em série de potência da função f(x)= 11-x^2.
(b) Usando o item (a) e o que você sabe sobre série de Maclaurin, calcule f^(21)(0). O que você pode dizer sobre f^(2009)(0) ?

Passo 1

O enunciado pede (a) a série de potência de
f(x)=11 - x^2
e (b), a partir dessa série, calcular as derivadas de ordem 21 e 2009 em 0. O conteúdo aqui é usar a expansão geométrica
11 - t = sumn=0^infty t^n para t=x^2 e depois relacionar com a série de Maclaurin
f(x)=sumn=0^infty an x^n,
onde
an = f^(n)(0)n!

Passo 2

Substituindo t = x^2 na soma geométrica, para |x|<1 temos
11 - x^2 =sumn=0^infty (x^2)^n =sumn=0^infty x^2n

Passo 3

Escrevendo isso na forma
f(x)=sumn=0^infty an x^n,
vemos que a2n=1 para todo n>=0 e a2n+1=0.

Passo 4

Pela definição da série de Maclaurin,
an = f^(n)(0)n!
Logo,
f^(n)(0) = an,n!

Passo 5

Como a2n+1=0, todas as derivadas de ordem ímpar em 0 são nulas:
f^(2n+1)(0)=0
Em particular,
f^(21)(0)=0 e f^(2009)(0)=0

Resposta

f(x)=sumn=0^inftyx^2n para |x|<1.
f^(21)(0)=0 e f^(2009)(0)=0.

Exercícios relacionados