Resolva.
(a) Encontre a representação em série de potência da função
.
(b) Usando o item (a) e o que você sabe sobre série de Maclaurin, calcule
. O que você pode dizer sobre
?
(a) Encontre a representação em série de potência da função
(b) Usando o item (a) e o que você sabe sobre série de Maclaurin, calcule
Passo 1
O enunciado pede (a) a série de potência de
e (b), a partir dessa série, calcular as derivadas de ordem 21 e 2009 em
. O conteúdo aqui é usar a expansão geométrica
para
e depois relacionar com a série de Maclaurin
onde
Passo 2
Substituindo
na soma geométrica, para
temos
Passo 3
Escrevendo isso na forma
vemos que
para todo
e
.
Passo 4
Pela definição da série de Maclaurin,
Logo,
Passo 5
Como
, todas as derivadas de ordem ímpar em
são nulas:
Em particular,