Investigue a convergência da série do exercício anterior, \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right). Para isso, encontre uma fórmula para a sua n-ésima soma parcial, S_{n}, e calcule \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr),
que é um caso clássico de série telescópica. Vamos (a) encontrar uma expressão fechada para a soma parcial \displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\bigl(\tfrac{1}{k}-\tfrac{1}{k+1}\bigr)
e em seguida (b) calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}.

Passo 2

Escrevendo os primeiros termos de S_{n} e observando o cancelamento, temos
S_{n} =\bigl(\tfrac{1}{1}-\tfrac{1}{2}\bigr) +\bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\bigr) +\bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}\bigr) +\cdots +\bigl(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}\bigr).
Note que -\tfrac12 cancela com +\tfrac12, -\tfrac13 com +\tfrac13, e assim por diante, restando apenas
S_{n} = \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Para ver se a série converge, calculamos
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr) =1-0=1.
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A soma parcial é
S_{n}=1-\frac{1}{n+1},
e \displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n}=1. Portanto a série converge e seu valor é 1.

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