Dada a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right), construa uma tabela com os valores das cinco primeiras somas parciais \left(S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}, S_{5}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as cinco primeiras somas parciais da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr),
que é uma série telescópica. Vamos usar a técnica de telescoping para obter uma fórmula geral para a soma parcial S_{N} e daí calcular S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},S_{5}.

Passo 2

Escrevendo a soma parcial até N, temos
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr) =\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)+\bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\bigr)+\cdots+\bigl(\tfrac{1}{N}-\tfrac{1}{N+1}\bigr).
Observe que todos os termos intermediários se cancelam e sobra
S_{N}=1-\frac{1}{N+1}.

Passo 3

Basta agora usar S_{N}=1-\tfrac{1}{N+1} para N=1,2,3,4,5:
  • S_{1}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}
  • S_{2}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}
  • S_{3}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}
  • S_{4}=1-\tfrac{1}{5}=\tfrac{4}{5}
  • S_{5}=1-\tfrac{1}{6}=\tfrac{5}{6}

Passo 4

Agora colocamos esses resultados numa tabela organizada.

Resposta

n S_{n}
1 \tfrac{1}{2}
2 \tfrac{2}{3}
3 \tfrac{3}{4}
4 \tfrac{4}{5}
5 \tfrac{5}{6}

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