Uma sequência é definida recursivamente por a_{1}=1 e a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{4}{a_{n}}\right) para n \geq 1. Supondo que a sequência é convergente, encontre o seu limite L.

Passo 1

O enunciado define a sequência por
a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac12\Bigl(a_{n}+\frac4{a_{n}}\Bigr)
e pede, supondo convergência, o limite \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}a_n. O conteúdo é usar limites em recorrências e resolver a equação de ponto fixo.

Passo 2

Se \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L existe, então também \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=L. Aplicando o limite na definição recursiva,
L =\frac12\Bigl(L+\frac4L\Bigr).

Passo 3

Multiplicando por 2 e rearranjando,
2L = L + \frac4L \quad\Longrightarrow\quad L = \frac4L \quad\Longrightarrow\quad L^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad L = \pm 2.
Como a_{1}=1>0 e cada termo a_{n+1} é soma de termos positivos dividido por 2, toda a sequência é positiva. Logo o único limite possível é L=2.

Resposta

L=2

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